§ 34. Anwendungen auf das sphärische Dreieck. 
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Legt man durch die Schnittlinie von E 2 = 0 und E 3 = 0 
eine zu E x — 0 senkrecht stehende Ebene, so läßt sich ihre 
Gleichung in der Form X 2 E 2 + X 3 E 3 = 0 darstellen. Benutzt 
man dann die Ausdrücke, die abgekürzt durch E x , E 2 , E 3 be 
zeichnet wurden, so erhält man für das Verhältnis X 2 : X 3 die 
lineare Bedingung: 
{l 2 C0S <*2 + h C0S ^3) C0S + (¿2 C0S ßi + ¿3 COS ß 3 ) COS ß x 
+ (¿2 COS y 2 -f l 3 COS y 3 ) cos y x = 0, 
oder 
X. 2 (cos cc x cos cc 2 + cos ß x cos ß 2 -f- cos y x cos y 2 ) 
+ X 3 (cos a x cos a 3 + cos ß x cos ß 3 -f- cos y x cos y 3 ) = 0. 
Die Faktoren von X 2 und X 3 sind aber nichts anderes als die 
Kosinus der Winkel, die die positive Normalenrichtung der 
Ebene E x = 0 mit denen der Ebenen E 2 = 0 und E 3 = 0 bildet, 
d. h, der Winkel 180° — y und 180° — ß. Es ist daher; 
JL g cos ß 
X s cos y ’ 
wie sich auch leicht direkt geometrisch zeigen läßt. 
Auf diese Weise findet man, daß die Gleichungen der 
drei Ebenen, die durch die Kanten der körperlichen Ecke 
hindurchgehen und jedesmal auf der gegenüberliegenden Ebene 
senkrecht stehen, lauten: 
E 2 cos ß — E 3 cos 7 = 0, 
E 3 cos y — E x cos a = 0, 
E x cos a — E 2 cos /3 = 0. 
Da man durch Addition identisch Null erhält, so folgt, 
daß sich diese drei Normalebenen in einer Geraden schneiden. 
Nennt man die größten Kreise, in denen diese drei Ebenen 
die Kugel schneiden, die Höhen des sphärischen Dreiecks, so 
hat man den Satz; 
III, Die Höhen eines sphärischen Dreiecks schnei 
den sich in einem Punkte. 
Durch die Schnittlinie von E 2 = 0 und E 3 = 0 lege man 
eine Ebene nach dem Mittelpunkte der gegenüberliegenden