Die Flächen zweiten Grades. 
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n. Zieht 
in- Bezug 
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P l XÄ'Ä v 
' und Ä v 
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die End- 
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C). Hier- 
len. 
C außer- 
die drei 
und YY 1 
onjugierte 
sser von u 
der Kreis 
n Durch- 
ZX, (Fig. 
betrachte 
ier u und 
affin und 
A', B', C 
ui Punkte 
C 0 . Ein 
nitt durch 
o > ^ei u o 
berührt, 
als Pro- 
nes Kegel 
auf einem 
shyperbo- 
dem Kehl- 
ojektionen 
schneide 
F und G 
2 > c 3 die 
i A 0 , B 0 , 
6 0 respektive liegen, so liegt der Spurpunkt J 0 von A 2 B 2 auf den 
Geraden DG, EF und A 0 B 0 . Denn Ä 2 B ist eine Erzeugende der 
einen Schar und B 2 G eine solche der anderen Schar, beide liegen 
in einer Ebene, deren Spur DG ist; ebenso liegen Ä 2 E und B 2 F 
als Erzeugende aus verschiedenen Scharen in einer Ebene mit der 
Spur EF. / 0 ist zugleich der Spurpunkt von A 3 B 3 . Analog ist K 0 
als gemeinsamer Schnittpunkt von DF, EG und A 0 B 0 der Spurpunkt 
der Geraden Ä 2 B 3 und Ä 3 B 2 . In gleicher Weise finden sich der 
Spurpunkt L 0 — Ä 0 C 0 x DE x EN von Ä 2 C 2 und A 3 C 3 , sowie der 
Spurpunkt M 0 = A 0 C 0 x DN x ER von Ä 2 C 3 und Ä 3 C 2 . 
Die Gerade J 0 L 0 ist die gemeinsame Spur der Ebenen Ä 2 B 2 C 2 
und Ä 3 B 3 C 3 \ diese schneiden das Hyperboloid in Kurven, deren ge 
meinsame Projektion durch A 0 , B 0 und C 0 geht und u 0 in zwei 
Punkten S 0 und T 0 berührt, die auf J 0 L 0 liegen. Geht man von u 0 
wieder zurück zur affinen Kurve u und von F 0 , L 0 , S 0 , T 0 zu den 
affinen Punkten /, L, S, T, so sind S und T die beiden Berührungs 
punkte von c und u. 
705. Ein Hyperbel u und drei Punkte Ä, B', C' inner 
halb sind gegeben, durch die drei Punkte soll ein Kegel 
schnitt c gelegt werden, der u zweimal berührt (Fig. 459). 
XX 1 sei die reelle, YY 1 die imaginäre Achse von u, deren Asymp 
toten OE und OE x wir zeichnen. Durch Rotation von u um XX x 
entsteht ein zweischaliges Rotationshyperboloid; auf ihm liegen drei 
Punktepaare Ä 2 , A 3 , B 2 , B 3 und C 2 , C 3 , deren Projektionen Ä, B' 
und C sind. Um die Abstände der Punkte Ä 2 , Ä 3 von der Pro 
jektionsebene zu finden, ziehen wir den Parallelkreis a durch A 
und legen ihn als a 0 in die Zeichenebene um. Ist DD X die senk 
recht zu XX x durch A' gezogene Hyperbelsehne und F ihr Mittel 
punkt, so ist FD der Radius von a 0 . Schneidet aber DD X die 
Asymptoten in E und E x , so ist {FD) 2 — {FE) 2 — {OY) 2 . Teilen 
nämlich F und Q die Achse XX x harmonisch, so ist: {OX) 2 =OQ-OF 
und {EG) ? ‘ — EN • EF, wenn die Parallelen zu OE durch Q und X 
die Sehne DD X in N und G treffen {EG = OY). Ferner sind E 
und N harmonische Pole von u, denn die Polare von E geht durch 
Q und ist zu OE parallel; also ist: {FD) 2 — FN• FE. Durch Addi 
tion beider Gleichungen folgt unmittelbar die obige. Die Beweis 
führung ändert sich nicht für irgend zwei konjugierte Durchmesser 
einer Hyperbel. Wir haben demnach den Satz: Auf jeder Ge 
raden werden zwei Strecken begrenzt, eine von den Asym 
ptoten, eine von der Hyperbel; sie können als Hypotenuse 
und Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks verwendet 
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