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Die Flächen zweiten Grades. 
deren Ebene TT 3 die Achse XX x in M 3 schneidet [OM x — M 3 0, 
ög = a x , A 3 = A x ? etc.). 
Sind 1' und 1’ die Projektionen des Lichtstrahles l, so liegt die 
Kurve v der Lichtgrenze auf unserer Fläche in der zur Lichtrich 
tung konjugierten Diametralebene. Diese schneidet auch den Asymp 
totenkegel der Fläche in zwei Mantellinien, die seine Lichtgrenze 
bilden; diese Mantellinien sind zugleich die Asymptoten von v. Ist 
0* der Schatten des Mittelpunktes auf und sind J x und K x die 
Berührungspunkte der von 0* an die Spurellipse h x des Asymptoten 
kegels gelegten Tangenten, so bilden OJ x und OK x die Lichtgrenze 
des Kegels und die Ebene OJ x K x schneidet das Hyperboloid in 
seiner Lichtgrenze v. Zur Konstruktion von J x und K x benutzen 
wir die Affinität, indem wir an Stelle der Ellipsen a x und b x die 
Kreise a° und b° mit den Durchmessern A X B X resp. U X V X einführen 
und zu 0* den affinen Punkt 0*° aufsuchen. Die Verbindungslinien 
affiner Punkte sind zu A X B X senkrecht; die Entfernungen affiner 
Punkte von A X B X verhalten sich, wie: C X JD X :A X B X . Die Tangenten 
von 0*° an b° mögen in J° und K° berühren, dann sind die affinen 
Punkte J x und K x die gesuchten Punkte; 0'J X und 0'K X sind die 
Asymptoten von v, 0"J X und 0"K X sind die von v". J°K° schneidet 
a° in A° und JV°, die affinen Punkte l x und N x auf a x liegen auf v. 
Der Schatten v* von v auf TT 1 geht ebenfalls durch L x und N x und 
hat O if L x und OJX x zu Asymptoten; er berührt natürlich a x in L x 
und iYj. Hiermit sind die Kurven v, v", v* bereits bestimmt, es 
lassen sich indessen leicht zwei konjugierte Durchmesser dieser 
Kurven angeben. 
Ziehen wir durch 0 eine Parallele zu B X N X , so ist sie ein 
imaginärer Durchmesser von v, der dazu konjugierte reelle Durch 
messer ist OQ x , wo Q x der Mittelpunkt von L X N X ist. Die End 
punkte — Gleichpunkte — des imaginären Durchmesser liegen auf 
der Ellipse mit den Achsen YY X und ZZ X (vergl. 693). Benutzen 
wir die frühere Affinität, so ist der Kreis mit dem Durchmesser 
YY X zu der genannten Ellipse affin; der zu J°K° parallele Durch 
messer B°S° dieses Kreises liefert dann den affinen Durchmesser BS 
der Ellipse. Zu dem imaginären Durchmesser B/S von v findet man 
den reellen TW mit Hilfe der Asymptoten. Für v* ist l" ein reeller 
Durchmesser, T* und W* sind seine Endpunkte, der ihm konjugierte 
imaginäre Durchmesser ist gleich und parallel mit B'S' = BS. 
Die durch die vertikale Achse parallel zum Lichtstrahl gelegte 
Ebene schneidet die Fläche in einer Hyperbel h, auf der die Punkte 
IDmd W liegen; die Tangenten in diesen Punkten sind zu l parallel.