Verschiedene Flächen. 
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entsprechenden Punkte A x = P x ), und durch sie gehen die gemein 
samen Erzeugenden von Regelfläche und Hyperboloid, 
Damit nun das Hyperboloid die Regelfläche längs e x oskuliert, 
müssen die beiden soeben bestimmten Erzeugenden mit e x Zusammen 
fällen, d. h. die oben erwähnte Gerade u muß k in Ä x berühren. 
Dadurch wird dann eine Reihe (P') auf k bestimmt, indem sich s. 
und B X B[ auf u schneiden, und diese liefert auf l eine Reihe (P), 
die zu (<5) projektiv ist. Die Verbindungslinien der entsprechenden 
Punkte dieser Reihen (P) und {Q) bilden die eine Schar des eska 
lierenden Hyperboloides, das hiermit gefunden ist. 
750. Es genügt hiernach, wenn man zwei Paare e 2 f 2 und e 3 f 3 
von Erzeugenden kennt, um für eine beliebige andere gegebene 
Erzeugende e x das oskulierende Hyperboloid zu finden. Wir wollen 
nun die Konstruktion thatsächlich durchführen, indem wir die Torsal- 
linien e 9 und e 3 als bekannt annehmen; die Konstruktion ändert 
sich etwas, wenn an ihrer 
Stelle zwei Paare von 
Erzeugenden gegeben 
sind. Projizieren wir die 
Fläche auf eine beliebige 
Ebene, dann läßt sich 
die ganze Konstruktion 
in dieser Ebene ausfüh 
ren. Dabei mögen die 
Projektionen der Geraden 
und Punkte mit den 
gleichen Buchstaben be 
zeichnet werden, wie 
diese selbst, und zwar 
der Einfachheit halber 
ohne beigefügte Striche. 
Gegeben sind also die 
Projektionen d und l der Doppel- und einfachen Geraden, e 2 und 
e 3 der beiden Torsallinien und e x einer weiteren Erzeugenden 
(Fig. 472). Wir legen den Kreis k, der ja beliebig ist, durch 
J 2 = l x e 2 und A 3 = l X e v ziehen seine Tangenten s 2 und s 3 in 
A 2 resp. A 3 und verbinden ihren Schnittpunkt S== s 2 X s 3 mit A x =lxe x . 
Diese Gerade s x = SA X schneidet k in zwei Punkten A x und B x 
(es ist gleichgültig, ob der eine oder andere der beiden Punkte mit 
A x bezeichnet wird), und wir lassen hier das obenerwähnte K mit 
B x zusammenfallen. Die Tangente u in A x schneidet s 2 und s 3 in