Verschiedene Flächen. 
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Punkten 0 2 und 0 3 , und die Geraden P(0 2 und P x '0 3 schneiden 
auf l die Punkte P 2 und P 3 aus. P 2 Q 2 un d P3Q3 iQz — e 2 X d, 
Q 3 = e 3 x d) sind zwei Erzeugende des Hyperboloides, das die Regel 
fläche längs e 1 oskuliert. 
Dieses Hyperboloid hat einen Kegelschnitt zum scheinbaren 
Umriß, der die fünf Geraden d, l, e v P 2 Q 2 und P 3 Q 3 berührt. 
Man erhält deshalb die Projektion der Haupttangente in einem 
Punkte X von e v indem man aus X die Tangente an den Umriß 
kegelschnitt legt, was mit Hilfe des Brianchon’schen Satzes ge 
schieht {P 3 Q 3 X P 2 Q 2 = G, GX x A X Q 3 = H, P 2 H x d = J), JX ist 
die Projektion der gesuchten Haupttangente. 
751. Die Regelfläche 4. Grades, Es sollen hier nur in 
aller Kürze einige wesentliche allgemeine Eigenschaften dieser Regel 
flächen entwickelt werden, da wir weiterhin noch mehrere derartige 
Flächen zu betrachten haben. Auch das gerade und schiefe Kreis 
konoid gehören zu dieser Flächenart. Wir gehen von der folgenden 
Definition aus. Die Verbindungslinien entsprechender 
Punkte zweier projektiver Punktreihen, deren Träger zwei 
beliebige Kegelschnitte sind, liegen auf einer Regelfläche 
4. Grades. Seien c und c die beiden Kegelschnitte, TT und TT' 
ihre Ebenen, s deren Schnittlinie, A X A 2 A 3 .... und A l 'A 2 'A 3 .... 
die projektiven Punktreihen auf c resp. c', die wir kurz durch {Ä) 
und [A') bezeichnen. Dann lassen sich die projektiven Reihen [A) 
und [A') und damit auch ihre Träger c und c' in Perspektive Lage 
bringen. Zu diesem Zwecke braucht man nur die Punkte A x . . A 4 ' 
zu den Punkten A 1 . . A 4 perspektiv zu legen (201), denn dann liegen 
auch die Tangenten in den entsprechenden Punkten von c und c per 
spektiv, z. B. t x in A x und t x in A x . A x 'A 2 ', A x 'A 3 , A x A^, t x sind 
nämlich perspektiv zu A X A 2 , A X A 3 , A x A a , t v da die ersten vier 
Strahlen das gleiche Doppelverhältnis haben wie die letzten vier, 
und drei Strahlen von jenen zu drei Strahlen von diesen bereits 
perspektiv liegen. Hierdurch ist eine Perspektive Lage der Ebenen 
TT und TT' hergestellt, zu jedem Punkt in TT giebt es einen Per 
spektiven Punkt in TT' und umgekehrt. Bringen wir jetzt die Ebene 
TT' wieder in ihre ursprüngliche Lage, so sagen wir: die Ebenen 
TT und TT' sind zu einander projektiv, wenn sich je zwei Punkte 
in ihnen entsprechen, die vorher perspektiv waren. 
Um nun zu zeigen, daß jede Gerade g unsere Fläche in vier 
Punkten schneidet, benutzen wir die projektive Beziehung der 
Ebenen TT und TT. Der Ebenenbüschel durch g schneidet TT in 
einem Strahlbüschel (?) mit dem Scheitel G = g X TT und TT' in einem