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Verschiedene Flächen. 
Die Ebenen durch zwei Erzeugende schneiden also aus den projektiven 
Ebenen TT und TT' entsprechende Gerade aus; sie umhüllen in diesen 
Ebenen entsprechende Kegelschnitte k und k', die beide s = TT X TT' 
berühren. Nach 715 folgt hieraus, daß alle Ebenen durch zwei 
Erzeugende eine abwickelbare Fläche 3. Klasse umhüllen, 
sie bilden also die Schmiegungsebenen einer Raumkurve 3. Ordnung. 
Zu den Ebenen durch zwei Erzeugende gehören auch die Tangen 
tialebenen längs der vier Torsallinien, sie schneiden TT in den ge 
meinsamen Tangenten von k und c. 
754. Der Tangentialkegel aus einem Punkte der 
Doppelkurve d an die Regelfläche ist von der 2. Ordnung, 
wie man schon daraus erkennt, daß jede Gerade aus diesem Punkte 
noch zwei weitere Erzeugende trifft, daß es also durch sie noch 
zwei Tangentialebenen an den Kegel giebt. Wir wollen die Sache 
jedoch noch etwas weiter verfolgen. Seien F ein Punkt der Doppel 
kurve, e 1 und e 2 die Erzeugenden durch ihn, A x , A 2 und J x ', A 2 
ihre Schnittpunkte mit c resp. c. Ist dann e i — A i A i ' eine beliebige 
Erzeugende, so ist zu zeigen, daß die Ebene T)e i eine Kegeliläche 
2. Ordnung umhüllt, wenn e i die Regelfläche beschreibt. Legen wir 
nun durch A x A 2 eine beliebige Ebene TT° und schneiden sie mit der 
Kegelfläche, die F zum Scheitel und c zur Leitkurve hat; die 
Schnittkurve sei c° und ihr Schnittpunkt mit FA.' sei AP. Die 
Reihen (A) auf c, (A') auf c und (A°) auf c° sind projektiv [A x ° = A v 
A 2 ° = A 2 )\ die Ebene Fe. schneidet c und c° in A i und AP. Die 
Verbindungslinien entsprechender Punkte der Reihen [A) auf c und 
{A°) auf c° bilden aber die eine Schar eines Hyperboloides, wie wir 
sogleich beweisen werden; die Ebenen Fe. oder FAAP umhüllen 
deshalb einen Tangentialkegel 2. Ordnung von ihm. Berührt dieser 
das Hyperboloid in dem Kegelschnitt u, so schneidet die Schar von 
Geraden A i A.° die Kurven c und u in projektiven Punktreihen. 
Beschreibt also die Erzeugende e { die Regelfläche, so umhüllt die 
Ebene Fe i eine Kegelfläche 2. Ordnung. Dabei ist die Punktreihe auf c 
durch die Erzeugenden e i projektiv bezogen auf die Mantellinien der 
Kegelfläche, indem jede Erzeugende durch einen Punkt von c geht 
und den Kegel in einem Punkt der entsrechenden Mantellinie berührt. 
Was aber für die Kegelfläche aus dem Scheitel F gilt, gilt auch 
für den Tangentialkegel aus jedem anderen Punkte der Doppelkurve. 
Daraus ergiebt sich aber eine zweite Erzeugungsweise unserer Regel 
fläche. Bezieht man die Mantellinien zweier Kegelflächen 
2. Ordnung projektiv aufeinander (indem man etwa die Punkte 
zweier Schnitte projektiv bezieht), so bilden die Schnittlinien