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Verschiedene Flächen. 
Spurlinien und die auf c liegende Punktreihe ihrer Schnittpunkte 
mit c. Die in einer Ebene I des Büschels liegende Gerade s, 
welche durch deren Berührungspunkt und deren Schnittpunkt mit c 
geht, berührt die Fläche in einem Punkte von p und schneidet sie 
in dem entsprechenden Punkte von c. Dreht sich nun die Ebene 
Z um p, bis sie sich mit der Tangentialebene in P deckt, so bewegt 
sich s derart, daß ihr Berührungspunkt und ihr Schnittpunkt gleich 
zeitig nach P rücken, und s wird zur Haupttangente in P. Die 
Geraden s verbinden aber entsprechende Punkte der projektiven 
Punktreihen auf p und c. Projiziert man nun die auf c liegende 
Punktreihe aus einem beliebigen Punkte von c auf die Tangente t 
des Punktes P, so ist auch die Punktreihe auf t projektiv zu der 
Reihe auf p\ ja diese Reihen sind sogar perspektiv, da ihr gemein 
samer Punkt P sich selbst entspricht. Die Verbindungslinien ent 
sprechender Punkte der Reihen auf p und t laufen alle durch den 
nämlichen Punkt R, und HP = h ist die gesuchte Haupttangente. 
Die Grenzlage der Geraden durch entsprechende Punkte von p und 
t fällt nämlich mit der Grenzlage der Geraden durch entsprechende 
Punkte von p und c zusammen. Denn der Abstand der ent 
sprechenden Punkte von t und c wird unendlich klein von der 2. Ord 
nung, wenn ihre Abstände von P unendlich klein von der 1. Ord 
nung werden. Gleiches gilt auch für die Projektionen, 
Den Punkten P, J', L von p entsprechen die Punkte P, Q, Q 1 
von c (QQ X Durchmesser von c). Projizieren wir die letzteren aus 
P 1 auf t {PP 1 Durchmesser von c), so erhalten wir die Punkte P, J 1 
und L x [PJ X = 2PO, PL X == 2PP, F=tx AB)\ H ist demnach der 
Schnittpunkt der Geraden JJ X und PP 1 . Wir haben also nur auf t 
zwei Punkte zu bestimmen, die von P doppelt so weit abstehen wie 
ihre Schnittpunkte mit den Achsen von c, und dieselben mit den 
Punkten von p auf der jeweiligen anderen Achse zu verbinden; 
diese Verbindungslinien schneiden sich in einem Punkte H' der 
ersten Projektion der Haupttangente von P. Projizieren wir J x und 
P 1 auf x als J x und P 1 ", so schneiden sich J"J” und L"L x in 
einem Punkte R" der zweiten Projektion der Haupttangente. 
770. Das Cylindroid. Die Punkte zweier beliebiger ebener 
Schnitte k und k 0 eines Cylinders 2. Grades werden durch seine 
Mantellinien projektiv aufeinander bezogen. Verschiebt man die 
eine der beiden Kurven parallel zu sich selbst in der Richtung der 
Schnittlinie s beider Ebenen und verbindet ihre Punkte mit den 
entsprechenden Punkten der anderen Kurve, so entsteht ein Cy 
lindroid. Aus dieser Definition folgt nach 751 daß das Cylin-