Verschiedene Flächen. 
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über k oder k x hinaus erstrecken. Sind alsoP, P x , Q die Punkte einer 
beliebigen Erzeugenden auf k, k x , l und sind P, P 0 , Q 0 die Punkte 
der entsprechenden Mantellinie auf k, k 0 , l 0 , so ist QQ 0 : P X P 0 
= PQ : PP 1 , oder QQ 0 : O x O 0 = P'Q': P'P X — const. Hieraus ersieht 
man, daß die Verschiebungsgröße für alle Punkte der Ebene A die 
selbe ist, nämlich gleich Trägt man im Grundrisse die Strecke 
O 0 O x = KK X parallel zur ersten Projektion der Erzeugenden ein, so 
daß K auf k' und K x auf k x liegt, dann schneidet die Gerade l 
auf ihr die Strecke KL — QQ 0 ab. Die erste Spur einer jeden 
Ebene durch s schneidet auf KK X , von K aus gerechnet, die Ver 
schiebungsgröße ab. 
Um die Tangentialebene der Fläche in einem beliebigen Punkte 
Q zu bestimmen, suche man die Tangente des durch Q laufenden 
Kegelschnittes l. Nun geht l aus Z 0 durch Parallelverschiebung 
hervor; demnach ist auch die Tangente von l in Q parallel zu der 
von l 0 in Q 0 und sie schneiden s in zwei Punkten T und T Q vom 
Abstande TT 0 = QQ 0 gleich der Verschiebungsgröße. Durch P 0 geht 
aber auch die Tangente von k in P, da k und l 0 Schnitte desselben 
Cylinders und P, Q 0 Punkte der nämlichen Mantellinie sind. Trifft 
also die Erzeugende durch Q den Kegelschnitt k in P, und schneidet 
die zugehörige Tangente von k die Gerade s in P 0 , so liegt der 
Punkt T von s auf der Tangentialebene von Q, wenn T Q T gleich 
der Verschiebungsgröße ist (T 0 T—KL). Soll umgekehrt der Punkt 
Q der Erzeugenden PP X gefunden werden, dessen Tangentialebene 
durch T auf s geht, so ziehe man die Tangente von k in P, sie 
schneidet s in P 0 , und trage auf KK X die Strecke KL = T Q T auf; 
dann liegt Q' auf SL (S erster Spurpunkt von s). Der Punkt U 
von PP liegt auf dem Umrisse u, wenn seine Tangentialebene zu 
TT 2 normal ist; sie schneidet also s in einem Punkte P, dessen 
Projektion V" auf P"P X liegt. Trägt man demnach V" auf 
KK X als KW auf, so liegt V auf SW. In der Figur ist u" nicht 
eingezeichnet; Lage und Form dieser Kurve sind ja klar. 
Jeder ebene Schnitt des Cylindroides ist eine Kurve 4. Ordnung, 
die eine Doppelasymptote besitzt, d. h. eine Asymptote für zweimal 
zwei im Unendlichen zusammenhängende Kurvenzweige, da die 
Fläche im Unendlichen eine Selbstberührungsgerade aufweist. Das 
Verhalten der Kurve gegenüber dieser Doppelasymptote ist dem 
zweier Hyperbeln mit gemeinsamer Asymptote dieser gegenüber 
analog. Es ist das natürlich nur der Fall, wenn die genannten 
Kurvenzweige reell sind; sie können jedoch auch konjugiert imaginär 
werden, was bei einer gewöhnlichen Asymptote nicht eintreten kann.