Verschiedene Flächen. 
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Haupttangente GN in einem Punkte X, ihre erste Projektion ist SX, 
ihre zweite R 0 X". Es läßt sich nun zeigen, daß die Haupttangenten 
in allen Punkten von g so beschaffen sind, daß ihre ersten Projek 
tionen durch X laufen. Geht die Haupttangente in G l durch J\\, 
so ist E'||g\ J x auf C X B X ')\ denn die Tangente von 
k " in G x " und der Durchmesser G x 'O x schneiden s" in zwei Punkten, 
deren Abstand RR 0 ist, wie leicht einzusehen. Deshalb geht auch 
E X N X durch X', da J'J X =N'N X ist, und somit gilt das Gleiche 
für die ersten Projektionen aller Haupttangenten, deren Berührungs 
punkte auf g liegen. Diese bilden nämlich die eine Schar eines 
hyperbolischen Paraboloides und projizieren sich auf TI 1 als Büschel, 
da sich die Geraden der anderen Schar als Parallelen (zu #) proji 
zieren. Alle Haupttangenten in den Punkten von g treffen die 
Vertikale durch X' in Punkten, deren Abstände von X gleich den 
Verschiebungsgrößen der Ebenen durch s und ihre Berührungspunkte 
sind. Denn diese Punkte liegen auf Parallelen zu g, welche s in 
Punkten schneiden, die von R 0 die genannten Abstände haben 
[G^'Y tangiert k x ", R 0 Y=O^'O{\ YZ"\\g", Z' = T, X"Z"= Ö 0 "O 1 "). 
Hiernach ist die Haupttangente in einem beliebigen Punkte von 
g leicht zu zeichnen. Im Punkte gXu teilen die Normale zu TT 2 und 
die Tangente von u den Winkel der Erzeugenden und der Haupttan 
gente harmonisch (796); deshalb geht die Tangente von u im Punkte 
g’Xu durch den Mittelpunkt des von X' auf g gefällten Lotes. 
773. Die Wölbfläche des schiefen Durchgangs. Die 
Erzeugenden dieser Fläche treffen gleichzeitig zwei parallel gestellte, 
gleich große Kreise k und k 1 und eine zu den Ebenen dieser Kreise 
normale Gerade n, die durch den Mittelpunkt 0 der Verbindungs 
linie der beiden Kreismittelpunkte Jfund M l geht. In der Fig. 477 
ist Thj parallel zu den Kreisen und Ti 1 parallel zu MM x genommen; 
TT 1 ist offenbar auch parallel zu n, da 1^ J_ TT 2 ist. Die Durch 
stoßpunkte von n mit den Kreisebenen seien N und N v Die 
Horizontalebene durch n (und MM X ) ist eine Symmetrieebene 
der Wölbfläche; denn jeder der beiden Kreise k und k x liegt zu 
ihr symmetrisch. Je zwei Erzeugende liegen zu der genannten 
Ebene symmetrisch und schneiden sich in einem Punkte 
der Geraden n, die eine Doppelgerade der Wölbfläche ist. 
Jede Ebene durch die Doppelgerade n schneidet die 
W r ölbfläche in zwei parallelen Erzeugenden, die von 0 gleich 
weit abstehen. Jede Gerade durch 0 trifft also die Fläche in 
zwei Punkten, die von 0 gleich weit entfernt sind; 0 ist Mittel 
punkt der Fläche. Zum Beweise legen wir durch n eine beliebige