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Verschiedene Flächen. 
Es ist das leicht einzusehen, da bei der projektiven Beziehung von 
k und k x den vertikalen Sehnen von k vertikale Sehnen von k x ent 
sprechen; diese schneiden AB und Ä X B X in projektiven Punktreihen, 
deren Verbindungslinien einen Kegelschnitt u (in der Figur eine 
Hyperbel) umhüllen. Die Tangenten von u sind die Schnittlinien 
jener Vertikalebenen mit der Symmetrieebene, oder die orthogonalen 
Projektionen der Erzeugenden auf diese Ebene. 0 ist offenbar der 
Mittelpunkt der Hyperbel u, da je zwei parallele Erzeugende von 0 
gleichen Abstand haben. CB und C\B 1 sind entsprechende vertikale 
Sehnen von k und h x , sie schneiden AB und A V B X in N und N x ; 
NN X ist also eine Tangente von u und zwar eine Asymptote, da sie 
durch den Mittelpunkt von u geht. Ist L der Pol von CB in Be 
zug auf k und L x der von C X B X in Bezug auf k v so sind auch L 
und L x entsprechende Punkte der Reihen auf AB und A X B V denn 
es ist (ABNL) = [A x B x N r L x ) = — 1. LL X geht durch 0 und ist die 
andere Asymptote von u. Die Hyperbel u berührt die Geraden 
AA X , BB V AB, A X B V ihre Berührungspunkte sind die Mittelpunkte 
der auf ihnen durch die Asymptoten begrenzten Strecken. 
Hieraus erkennt man, daß der scheinbare Umriß in von 
u' und den Geraden ÄA x , B'B X gebildet wird. Von u sind aller 
dings beim Umriß nur die Stücke beteiligt, die sich an die Asym 
ptote n anschließen, und zwar bis zu ihren Berührungspunkten C 
und H' mit ÄA X und B'B X . Im Aufriß wird der Umriß von den 
Projektionen der beiden Kurven l und l x gebildet, die die Fläche 
begrenzen und in Parallelebenen zu TT 2 angenommen sind. 
Jede Vertikalebene durch eine Erzeugende enthält, wie wir sahen, 
einen Kegelschnitt der Wölbfläche. Dieser Kegelschnitt ist eine 
Hyperbel, ihre Hauptachse liegt in der Symmetrieebene, ihr Mittel 
punkt auf M X M 2 und die Endpunkte dieser Achse auf AA X und BB X . 
Die Asymptoten dieser Hyperbel sind zu den in ihrer Ebene liegenden 
Erzeugenden parallel; denn zu jeder von diesen giebt es eine parallele 
Erzeugende, die demnach einen unendlich fernen Punkt jener Hyperbel 
liefert. Durch jede Tangente von u geht eine Vertikalebene, die 
zwei reelle, oder konjugiert imaginäre, zur Tangente symmetrische 
Erzeugende enthält und die Fläche somit noch in einem Kegel 
schnitt schneidet. Dieser ist eine Ellipse (oder Kreis), falls die 
Erzeugenden imaginär sind, zu ihnen gehören auch die Kreise k und 
k v Die Erzeugenden schneiden alle auf der Fläche liegenden Kegel 
schnitte in projektiven Punktreihen (752). Es soll nun gezeigt 
werden, daß die zweiten Projektionen dieser Kegelschnitte 
sich in perspektiver Lage befinden, und zwar ist 0" das