Verschiedene Flächen. 
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Centrum und CD” die Achse der Perspektivität. Da die Er 
zeugenden CC X und DD X zu TT 2 senkrecht sind, gehen die genannten 
Projektionen alle durch C" und D". Wählen wir unter diesen irgend 
zwei Kegelschnitte y" und z" aus, so werden sie von den Pro 
jektionen der Erzeugenden, die alle durch 0" gehen, in projektiven 
Punktreihen geschnitten. Sind Y x ", T 2 " irgend zwei Punkte von y" 
und Z x , Z 2 die entsprechenden Punkte von z", so ist die Perspek 
tive Lage von y" und z" bewiesen, sobald inan nachweist, daß sich 
Y X "Y 2 " und Z X 'Z 2 auf CD" schneiden. Die Gerade 0"Y x 'Z x 
schneidet aber y" und z" noch in zwei entsprechenden Punkten 
Y 3 " und Z”. Nun sind aber die Strahlbüschel Y X '\C"D"Y 3 "Y 2 ") 
und Z X '\C"D"Z 3 Z 2 ") projektiv und, da sie einen Strahl gemein 
haben, perspektiv; ihre entsprechenden Strahlen schneiden sich des 
halb auf einer Geraden und das ist die Gerade CD". In der 
Figur ist die Kurve y eine Ellipse und zwar diejenige, deren Ebene 
durch den Mittelpunkt 0 der Fläche geht; z ist eine Hyperbel 
(z" ist so weit ausgezogen, als z auf dem dargestellten Teil der 
Fläche liegt). Jede Gerade durch 0" trifft die Kurven k", k x ", y", z" 
in je einem Punkte, deren Tangenten durch den nämlichen Punkt 
von CD" gehen (z. B. in der Figur durch T). 
Die Fläche ist von zwei zum Aufriß parallelen Schnittkurven 
l und l x begrenzt. Der auf P"P X " liegende Punkt S x " von l x 
bestimmt sich daraus, daß P X "S X ": P X P" gleich dem Verhältnis 
der Abstände der Ebene durch k x von den Ebenen durch l x und 
durch k ist. 
775. Alle zu TT 2 parallelen Tangenten der Fläche in den 
Punkten einer Erzeugenden PP X bilden eine Schar eines hyperbo 
lischen Paraboloides, ihre zweiten Projektionen umhüllen also eine 
Parabel. Diese berührt die Tangenten P"T von k" und P”T von 
k x " (T auf CD") sowie P"P X " im Punkte 0", denn sie berührt die 
Projektionen zweier benachbarter Erzeugenden, zu denen PP X ge 
hört. Die Tangente t" von l x " in S x " findet sich als Tangente 
jener Parabel nach dem Brianchon’schen Satze [0"ü || P"l\ U — 
S x "Tx 0"ü, t" \\P X "U). Hieraus ergiebt sich auch die Tangential 
ebene in 8 X . Ist umgekehrt eine Ebene durch PP X gegeben, so 
findet man ihren Berührungspunkt wie folgt. Man ziehe 0"U\\P"T 
und durch P x eine Parallele zur zweiten Spur der Ebene, beide 
Geraden schneiden sich in U und der gesuchte Punkt liegt auf üT. 
Die Haupttangenten der Fläche in den Punkten einer 
Erzeugenden PP X bilden eine Schar eines Hyperboloides, zu der auch 
die Gerade n gehört. Letztere ist zu H 2 normal, deshalb projizieren