DREIZEHNTES KAPITEL. 
Die Krümmung der Flächen. 
786. Zwei Flächen, die einen gemeinsamen Punkt P, aber 
verschiedene Tangentialebenen in ihm besitzen, schneiden sich in 
einer Kurve s durch P, deren zugehörige Tangente t jenen Tangen 
tialebenen angehört. Wir lassen eine der beiden Flächen sich um t 
drehen, bis ihre Tangentialebenen in P zusammenfallen, dann erhält 
die Schnittkurve s in P einen wirklichen oder isolierten Doppelpunkt. 
Denn die zu t normale Ebene durch P schneidet die Flächen in 
ihrer ursprünglichen Lage in zwei durch P laufenden Kurven; eine 
derselben nimmt an der genannten Drehung teil, bis sie die andere 
in P berührt, d. h. bis einer ihrer weiteren gemeinsamen Punkte 
nach P hereingerückt ist. Da t auch während der Drehung Tan 
gente der Schnittkurve s bleibt, so entsteht bei der Berührung der 
Flächen in P entweder ein isolierter Doppelpunkt, indem sich ein 
kleines Oval zu einem Punkte zusammenzieht, oder ein wirklicher 
Doppelpunkt, indem zwei getrennte Kurvenzweige übergehen in 
zwei sich im Doppelpunkte durchsetzende Zweige (vergl. 472). 
Besitzen zwei Flächen und T 2 in P die gleiche Tangential 
ebene T, und legt man aus einem Punkte L von T an dieselben 
zwei berührende Kegelflächen, so gehen ihre Berührungskurven b x 
und b 2 durch P, haben aber daselbst im allgemeinen verschiedene 
Tangenten. Um die Richtigkeit des Gesagten zu erkennen, ziehen 
wir in T eine zu LP benachbarte Gerade m durch L und legen 
durch diese eine Ebene, etwa die Normalebene zu T, welche die 
Flächen in den Kurven c x resp. c 2 und die Kurven b l und b 2 in 
den Punkten P l resp. P 2 schneidet (Fig. 483 a stellt diese Ebene 
dar). Ist der Abstand des Punktes P von dieser Ebene unendlich 
klein von der 1. Ord,, so sind es auch die Strecken PP 1 und PP 2 , 
dagegen sind die Abstände der Punkte B l und P 2 von T oder m 
unendlich klein von der 2. Ord., da T die Kurven b x und b 2 in P 
berührt. Demnach schließen die Tangenten LP l und PP 2 sowohl 
mit m, als auch unter sich Winkel ein, die von der 2. Ord. un