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auch die Reihe der Quadratzahlen mit fortwährender Verschie
bung der Anfangszahl mehrmals unter einander zu schreiben
und zuzusehen, ob nicht durch Addition zweier senkrecht ver
bundener Zahlen eine neue Quadratzahl resultire. Die einfachste
im folgenden Schema angedeutete Verschiebung
1, 4, 9, 16, 25 . . .
4, 9, 16 ; 25, 36 . . .
lieferte aus einem sehr leicht ersichtlichen Grunde *) nur Ein
Resultat, das allbekannte 9 + 16 = 25. Durch das nach
stehende Arrangement
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256 ...
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 ...
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49...
erhält man die beiden neuen Gleichungen
25 + 144 = 169, 36 + 64 = 100,
und entsprechend kann rein empirisch die Anzahl solcher Rela
tionen vermehrt werden. Nachdem man nun einiges Material
beisammen hatte, musste man sich wohl fragen: Kommt etwa
sämmtlichen Dreiecken, deren Seiten solchen Zahlen proportional
sind, die am Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 längst erkannte
Eigenschaft zu, rechtwinklig zu sein? Man machte die Proben,
und die Sache stimmte.
Nun aber — und hierin stimmt wieder unsere bereits früher
formulirte Auffassung mit derjenigen Hank eis 14 ) überein **) —
galt es zunächst, noch andere experimentale Beweisstücke für
die induktorisch erkannte Wahrheit ausfindig zu machen. Welche
Figur bot sich da natürlicher dar als das gleichschenklig-recht
winklige Dreieck ? An ihm fällt die Gültigkeit des Satzes ohne
weiteres construktiv in die Augen, es bedurfte also keiner auf
diesem Standpunkte überhaupt nicht wohl zulässigen Hülfscon-
struktion, und überdiess gehörte diese Figur nicht zu der Kate
*) Die hier massgebende quadratische Gleichung
(n —1)2 + n2 = (n + l} 2
besitzt ersichtlich nur die beiden Wurzelwerthe n = 0 und n = 4.
**) Unsere Darstellung der muthmasslichen Entstehungsgeschichte des
pythagoräischen Lehrsatzes weicht in einigen allerdings untergeordneteren
Punkten von den bisher gültigen (Cantor’s u. A.) ah, weshalb wir auf die
deutliche Heraushebung dieser Unterfragen hier einiges Gewicht legen möchten.
