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Diess höchst paradoxe, zuerst nur empirisch beobachtete Phäno
men hat dann in den letzten Jahren seine Erklärung gefunden,
indem es Eie mann gelungen ist, mit Hülfe der feinsten Theo-
rieen aus den neuesten Theilen der Integralrechnung, das Ge
setz der Primzahlen in einer analytischen Formel zum Ausdruck
zu bringen.“ Ist diese Studie. tJ ) des grossen leider so früh ge
schiedenen Mathematikers bisher auch noch nicht im wünschens
werten Masse ausgobeutet worden, so darf man eine solche
Heu-Aufnahme seiner Untersuchung doch wohl von einer nahen
Zukunft erwarten.
Zu gleicher Zeit bewerkstelligte sich ein wichtiger Fort
schritt auf dem anderen zuerst genannten Wege. Entwickelt
man nämlich durch Einzeldivision die Lambert’sche Reihe in
eine sogenannte Doppelreihe, so lässt sich dieselbe, was bekannt
lich nicht allgemein gestattet ist, in diesem Falle in eine ge
wöhnliche Potenzreihe contrahiren und geht in nachstehende
Form über:
S =: x + 2x 2 + 2x3 -f 8x± + 2x 5 + 4x (J + 2x 7 + 4x 8
4- 8x !) + 4x 10 + 2X 11 + 6x 12 + 2x 13 + . . .
Man erkennt, dass der Cocfficient von x m gleich der Anzahl
der ganzzahligen Theiler sein wird, welche der Zahl m zukom
men; ist also der Cocfficient gleich 2, so ist m eine Primzahl.
Nehmen wir nun an, die Summe S sei in independent geschlos
sener Form bekannt, so können wir S nach dem Verfahren von
Maclau rin in eine Potenzreihe entwickeln. Der Cocfficient
jeder Potenz kann durch successive Differentiation aus S herge
leitet werden, und setzt man den allgemeinen Ausdruck eines
solchen höheren Differentialquotienten = 2, so involvirt augen
scheinlich diese Relation das Gesetz der Primzahlen. Zwei Auf
gaben müssen sonach gelöst werden; die Suramirung der Lam
bert’sehen Reihe und die Ableitung des independenten mten
Differcntialquotienten dieses Summenwerthes.
Das ersterwähnte Problem hat M. Curtze 1ö ) mit Hülfe be
stimmter Integrale erledigt; die unter dem Integralzeichen
Mit dem Studium dieser auch für die Astronomie wichtigen Funktion haben
sich mehrere der bedeutendsten Analytiker, wie Mascheroni, Bretschnei-
d e r und S c h 1 p m i 1 c h, dann aber auch die A stron omen Soldner und
Bessel, befasst.