Krümmung 360° beträgt (bei einer Figur wie 1 ist sie z. B. = o,
bei 2 hingegen 720° usw.).
Sie sehen, liebster Gerling, daß hier ein weitläufiges Feld, zum
Teil zur Geometria Situs gehörig, sich eröffnet, und ich gestehe,
daß die Beantwortung mancher einfacher Fragen, Beweise von
manchen Sätzen, die von selbst evident erscheinen und es durchaus
nicht sind, erst viel Kopfbi’echens gekostet hat, obgleich ich jetzt
mit den meisten Sachen ziemlich im klaren bin, und obgleich man
zuletzt, wenn sie vorgetragen werden, die Mühe nicht ansehen wird,
die sie gekostet haben; so ist es z. B. gewissermaßen ein rein mathe
matischer Satz, d. i. er kann unabhängig von geometrischer Ab-
schauung dargestellt werden, daß, wenn in einem geradlinigten
Polygon die Summe der (180° — inner[en] Wink[el]) nicht 360°
ist, der Umfang sich selbst irgendwo schneiden muß. Nämlich wenn
x'
X
=—- a
cos
A ,
y'
— y =
a
sin
A
x"
—x'
= a'
cos
A',
f
y' =
a
sin
A'
x'"
—x"
= a"
cos
A",
Y"
-y" =
a
sin
A'
x — x (n) = a (n) cos A^ n) , y — y*- 11 -* == a sin A*-”-*),
so daß, wenn A'— A, A"—A', A'" — A" usw. zwischen —180° und
+ 180° genommen wird, daß dann
A — AW zwischen -f- 180° und -|- 540° oder — 180° oder — 540°
liegt, wenn das geradlinigte Polygon durch die Punkte sich nicht
schneidet, oder daß, wenn jene Grenzen nicht stattfinden, notwendig
ein Schnitt existiert (welches auch unabhängig von geometrischen
Begriffen ausgedrückt werden kann).
Es gibt viele solche Dinge, selbst in der Elementargeometrie,
die eines strengen Beweises bedürfen, z. B. die Möglichkeit der
Ebene, deren Definition eigentlich schon ein Theorem involviert,
z. B. wenn ABD, AFG, ACE, BFC gerade Linien sind, daß dann die
gerade Linie durch DE nicht oberhalb oder unterhalb G Weggehen
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