Full text: Briefwechsel zwischen Carl Friedrich Gauss und Christian Ludwig Gerling

Krümmung 360° beträgt (bei einer Figur wie 1 ist sie z. B. = o, 
bei 2 hingegen 720° usw.). 
Sie sehen, liebster Gerling, daß hier ein weitläufiges Feld, zum 
Teil zur Geometria Situs gehörig, sich eröffnet, und ich gestehe, 
daß die Beantwortung mancher einfacher Fragen, Beweise von 
manchen Sätzen, die von selbst evident erscheinen und es durchaus 
nicht sind, erst viel Kopfbi’echens gekostet hat, obgleich ich jetzt 
mit den meisten Sachen ziemlich im klaren bin, und obgleich man 
zuletzt, wenn sie vorgetragen werden, die Mühe nicht ansehen wird, 
die sie gekostet haben; so ist es z. B. gewissermaßen ein rein mathe 
matischer Satz, d. i. er kann unabhängig von geometrischer Ab- 
schauung dargestellt werden, daß, wenn in einem geradlinigten 
Polygon die Summe der (180° — inner[en] Wink[el]) nicht 360° 
ist, der Umfang sich selbst irgendwo schneiden muß. Nämlich wenn 
x' 
X 
=—- a 
cos 
A , 
y' 
— y = 
a 
sin 
A 
x" 
—x' 
= a' 
cos 
A', 
f 
y' = 
a 
sin 
A' 
x'" 
—x" 
= a" 
cos 
A", 
Y" 
-y" = 
a 
sin 
A' 
x — x (n) = a (n) cos A^ n) , y — y*- 11 -* == a sin A*-”-*), 
so daß, wenn A'— A, A"—A', A'" — A" usw. zwischen —180° und 
+ 180° genommen wird, daß dann 
A — AW zwischen -f- 180° und -|- 540° oder — 180° oder — 540° 
liegt, wenn das geradlinigte Polygon durch die Punkte sich nicht 
schneidet, oder daß, wenn jene Grenzen nicht stattfinden, notwendig 
ein Schnitt existiert (welches auch unabhängig von geometrischen 
Begriffen ausgedrückt werden kann). 
Es gibt viele solche Dinge, selbst in der Elementargeometrie, 
die eines strengen Beweises bedürfen, z. B. die Möglichkeit der 
Ebene, deren Definition eigentlich schon ein Theorem involviert, 
z. B. wenn ABD, AFG, ACE, BFC gerade Linien sind, daß dann die 
gerade Linie durch DE nicht oberhalb oder unterhalb G Weggehen 
D
	        
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