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x = x / cos et — y' sin a, y = x' sin a -J- y' cos a 
über in 
A (x' 2 cos 2 a — 2x' y' sin a cos a -\- y' 2 sin 2 ot) 
-f- B (x' 2 sin 2 ct —(— 2 x'y' sin a cos a -j- y' 2 cos 2 «) 
-f- C (x /2 sin a cos a — x'y' sin 2 a -j- x'y' COS 2 ct — y' 2 sin a • COS a) 
-j- D (x' cos a — y' sin a) -f- E (x" sin a y' cos a) -\- F = 0 
oder 
(A cos 2 a -j- B sin 2 ct —)— C sin a cos a) x /2 
-f- (A sin 2 a -f- B cos 2 a — c sin a COS a) y' 2 
—|— (2 B sin a COS a — 2 A sin a COS a -|- C COS 2 a — G sin 2 djx*y' 
-[- (D cos a -)- E sin a) x / -|- (E cos a — D sin a) y" -|- F = 0 
und soll hierin das Glied mit x'y' verschwinden, so muss 
— 2 (A — B) sin a cos a —j— C (cos 2 a — sin 2 a) — 0, 
— (A — B) sin 2 a -f- C cos 2 a = 0, 
sein. Weil aber die Koeffizienten A, B, C, . . . als reelle Zahlen 
vorausgesetzt werden müssen, und weil die goniometrische Tangente 
der Winkel von 0 bis ~ jeden Wert zwischen —oc und-]-oo 
besitzen kann, so ist die vorstehende Transformation unter allen 
Umständen möglich und daher, wenn wir der Kürze halber die 
Koeffizienten von x' 2 , y /2 , x' und y' mit L. M, G und H be 
zeichnen und die Accentstriche wieder weglassen, 
Lx 2 -f My 3 -f Gx + Hy + F = 0 . . . . (II) 
eine Gleichung-, in Avelcher immer noch alle Kurven 
zweiten Grades enthalten sind. 
§ Ö5- 
Parallele Verschiebung der Axen. 
Behufs weiterer Vereinfachung der letzten Gleichung bleibt 
uns noch die Verlegung des Koordinatenursprunges durch parallele 
Verschiebung der Koordinatenaxen. Sind u und v die Koordi 
naten des neuen Ursprunges und x', y' die Koordinaten eines 
Punktes in Bezug auf das neue System, so erhalten wir nach 
§ 90 durch die Substitutionen 
x = x'-j—u, y = y / -fv 
und kurze Vereinfachung