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Faktoren a, b, c, d und e entweder direkt bekannt, oder es 
müssen fünf von einander unabhängige Bedingungen ge 
geben sein, aus welchen sich jene Koeffizienten berechnen lassen. 
Wenn z. B. P 4 (x lf yj, P 2 (x 2) y 2 ), . . , P 5 (x 5 , y B ) fünf 
Punkte sind, durch welche eine Linie zweiten Grades hindurch 
gehen soll, so haben wir als Bedingungen dafür, dass jeder 
dieser Punkte der Kurve angehört, die fünf Gleichungen 
ax t 2 -f by 1 2 + cx 1 y 1 + dx l + ey 1 + l = 0, 
ax 2 2 -f by 2 2 + cx 2 y 2 -f- dx 2 + ey 2 -f 1 = 0, 
ax 3 2 + by 3 2 H- cx 3 y 3 -f dXg-f ey 3 + l = 0, 
ax 4 3 + by 4 2 + cx 4 y 4 + dx 4 + ey 4 + 1 = 0, 
ax 5 2 + by 6 2 + cx 6 y 6 4-dx 5 + ey 5 +l = 0, 
welche man für a, b, c, d und e auflösen kann. 
Da diese fünf Gleichungen in Bezug auf die Unbekannten 
a, b, c, d und e ersten Grades sind, so erhält man für letztere 
auch nur je einen Wert, und es folgt hieraus, dass im allge 
meinen durch fünf Punkte nur ein Kegelschnitt gelegt werden 
kann. 
ln dem vorhin ausgenommenen Falle, dass F = 0 ist, kann 
man die Gleichung zweiten Grades durch einen andern Koeffi 
zienten dividieren und es bleiben also noch vier Koeffizienten 
übrig, zu deren Bestimmung nur noch vier von einander unab 
hängige Bedingungen, also etwa vier Peripheriepunkte gegeben 
sein müssen; dann ist aber der fünfte Punkt der Koordinaten 
ursprung, weil für x = 0 auch y = 0 wird, folglich die Linie 
zweiten Grades durch 0 geht. 
Eine Parabel ist allerdings schon durch vier Punkte be 
stimmt, indem für dieselbe die drei ersten Koeffizienten der 
allgemeinen Gleichung zweiten Grades der Bedingung c 2 = 4ab 
unterworfen sind. Da aber diese letztere auf zweierlei Art, 
nämlich durch 
c = —2 ]/ab und c = — 2 |/ab 
erfüllt werden kann, so sind durch vier Punkte zwei ver 
schiedene Parabeln möglich. Endlich folgt der bekannte 
Satz, dass durch drei Punkte ein Kreis unzweideutig bestimmt 
ist, aus dem Umstande, dass für letzteren 
c = 0 und b = a 
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sein muss.