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Ferner besteht wegen Ähnlichkeit der Dreiecke BQP und BOA 
die Proportion 
(x — OB): y = OB : a, 
woraus folgt 
OB = -^-, also x-OB 
a_ h y a y 
Mit Substitution des letzten Wertes in die erste Gleichung ent 
steht nach kurzer Reduktion 
x 2 y 2 = (a -f y) 2 (b 2 — y 2 ) (50) 
Es ist leicht zu zeigen, dass vorstehende Gleichung auch 
für die Koordinaten 0 Q' = x und Q" P' = — y des Punktes P' 
gilt, und ebenso ist die Diskussion der Relation (50) ohne jede 
Schwierigkeit; nur sei noch erwähnt, dass häufig der Ort des 
Punktes P die „obere“ und der Ort des Punktes P' die 
„untere“ Konchoide genannt wird. 
§ 109. 
Die Cassinische Kurve. 
Diese Linie ist der geometrische Ort eines Punktes P, für 
welchen das Produkt seiner beiden Entfernungen von zwei festen 
Punkten Fj und F 2 gleich einer gegebenen Konstanten a 2 ist. 
Zieht man daher in einem beliebigen Kreise (Fig. 44) eine 
Sehne AB= 2a und durch den Mittelpunkt C derselben irgend 
eine andere Sehne DE, beschreibt man dann mit CD um Fj 
(Fig. 45) und mit CE um F 2 Kreise, so schneiden sich letztere 
in zwei Punkten P und P', welche der Cassinischen Kurve 
angehören. 
Um die Gleichung der Linie in recht einfacher Gestalt zu 
erhalten, legen wir die Abscissenaxe durch die fixen Punkte F 3 
und F 2 und die Ordinatenaxe so, dass Fj F 2 = 2e durch 0 
halbiert wird, so dass OF 1 =OF 2 = e. Dann sind die Quadrate 
der Entfernungen eines Punktes P mit den Koordinaten OQ = x, 
QP = y von Fj und F 2 : 
PFj = y 2 -f (x + e) 2 = x* -f y 2 -f e 2 -f 2 ex 
und 
PF“ = y 2 -f (x — e) 2 = x 2 -f y 2 -f e 2 — 2ex.