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§ ho. 
Konstruktionsaufgahe. 
60. Man wähle für e und a Strecken, wie sie den Fällen 
2, 3, 4 und 5 des vorigen Paragraphen entsprechen und kon 
struiere für jeden einzelnen dieser vier Fälle die Cassinische 
Kurve, um sich durch Anschauung von der Richtigkeit des 
dort Gesagten zu überzeugen. 
§ Hl. 
Die Polargleichung der Lemniskate und Diskussion 
der ersteren. 
Besonders einfach gestaltet sich die Gleichung der Lemnis 
kate, wenn wir sie auf ein Polarkoordinatensystem beziehen, 
dessen Axe mit OX und dessen Pol mit 0 zusammenfällt. 
Wie ein Blick auf die Figur 46 lehrt, brauchen wir zu dem 
Ende nur 
x — r cos cp und y = r sin cp 
in (51) zu substituieren. Da 
X 2 -f- y 2 = r 2 und COS 2 cp — sin 2 cp = cos 2 cp, 
so ergiebt sich 
r 2 = 2a 2 cos2cp, (52) 
die Polargleichung der Lemniskate. Lässt man in 
r = a ]/~2 cos 2cp 
% 
den Polarwinkel cp von 0 bis — stetig wachsen, so nimmt r 
, beständig ab von a j/2 bis 0; zwischen cp = ^ und cp = bleibt 
r imaginär und wächst dann von 0 bis a |/2~, wenn cp von — % 
bis % zunimmt; von cp = % bis cp == 2-ir erleidet r genau dieselbe 
Änderung wie von cp = 0 bis cp = %. Hieraus folgt, dass die 
Lemniskate gänzlich innerhalb derjenigen beiden rechtwink 
ligen und gleichschenkligen Dreiecke OBC und OB'C' liegt, deren 
Hypotenusen B C = B'C' = 2 arnnd deren Höhen OA = OA' — a ]/Ä2 
sind. Bezeichnen wir den Leitstrahl OP, welcher irgend einer 
Anomalie POX = cp zugehört, mit r und den Leitstrahl, welcher 
der Anomalie P'OX = 180°-)-? entspricht, mit r', so ist, weil