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XI. Die Iiarmouisclien Yerliältnisse und die 
Kegelschnitte. 
Sind AB CD vier in irgend welchen Abständen auf einer Ge 
raden hintereinander liegende Punkte, so hat das Doppelverhältnis 
AB ■ CB 
AD • CD ^ en( ^ e i nen Zahlenwert. Ist dieser gleich — 1 oder ver 
halten sich die Maßzahlen der ersten Strecke zur zweiten, wie 
der ganzen zur dritten (das negative Zeichen wird gewählt, weil 
von C nach 13 rückwärts gezählt wurde), so heißt das Verhältnis 
ein harmonisches oder man sagt, die Strecke AG sei durch den 
inneren B nnd äußeren Punkt D im selben Verhältnisse geteilt. 
Bei anderen Werten, also im allgemeinen heißt das Doppelver 
hältnis auch ein anharmonisches (weil es bei bestimmtem Werte 
znm harmonischen werden kann). Wir haben bereits über solches 
Verhältnis bei der Lehre von den projektivischen Punktreihen 
gesprochen nnd den Satz bewiesen, daß dabei das Doppelverhältnis 
von vier Punkten der einen gleich dem Doppelverhältnis der ent 
sprechenden vier Punkte der anderen Punktreihe ist. Ein besonderer 
Fall ist also, daß vier Punkte der einen und der anderen har 
monisch liegen. 
Wir sahen ferner, daß man stets durch Zentralprojektion die 
Verhältnisse von Linien am Kreise auf eine andere Ebene 
übertragen kann derart, daß sie in dieser ebenso für einen ent 
stehenden Kegelschnitt gelten, indem immer derselbe Strahl 
durch einen Punkt des Kreises und einen entsprechenden des 
anderen beliebigen Kegelschnittes geht. Ferner sahen wir, daß die 
Sätze, die für projektivische Punktreihen und die daraus folgenden 
Sätze beim Kreise gelten, ebenso hei einem Kegelschnitte gelten 
müssen, nur werden die Winkel anders, gleiche Winkel bleiben 
nicht immer gleiche, aber Tangenten des Kreises bleiben Tan 
genten auch für den Kegelschnitt (wegen der unendlichnahen 
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