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einen einzigen vierten, so daß das anharmonische Verhältnis ein 
bestimmtes ist (entsprechend für Strahlen zu nennen). 
Zu drei Punkten ABC kann man den vierten harmonischen 
auf die bekannte Art leicht konstruieren, indem man durch A 
in irgend einer Richtung eine beliebige Strecke legt, nach ent 
gegengesetzter dieselbe, durch C eine Parallele dazu, den einen 
Endpunkt der ersten A-Strecke mit B verbindet bis zum Schnitte 
mit der G-Parallelen und diesen Schnitt mit dem Endpunkte 
der anderen A-Strecke verbindet bis zum Schnitte der verlängerten 
Geraden ABC. Ebenso leicht erhält man die innere und äußere 
d, h. harmonische Teilung einer gegebenen Strecke AG nach ge 
gebenem Verhältnisse, indem man zu den beiden gleichen und 
entgegengesetzten A-Strecken eine G-Strecke parallel legt, welche 
das gegebene Verhältnis zur A-Strecke hat und nun den End 
punkt der C-Strecke mit beiden Endpunkten der A-Strecken ver 
bindet; sie ergeben den inneren und äußeren Teilpunkt B und 
D. Es folgt der Satz: 
Satz 3. Liegt der innere Teilpunkt der Strecke AG in der 
Mitte, so fällt der äußere in das Unendliche. 
Verbindet man vier harmonische Punkte mit einem außer 
halb dieser Geraden liegenden Zentrum, so entstehen vier har 
monische Strahlen und es ergibt sich 
Satz 4. Ein harmonisches Strahlenbüschel wird durch irgend 
eine Gerade in vier harmonischen Punkten geschnitten; liegt die 
Gerade parallel zu einem Strahle, so wird sie durch die drei 
vorhergehenden Strahlen halbiert; verbindet man die Endpunkte 
und die Mitte einer Strecke mit einem äußeren Punkte und legt 
durch diesen eine Parallele zur Strecke, so wird das entstehende 
harmonische Strahlenbüschel durch jede andere Gerade in vier 
harmonischen Punkten geschnitten. 
Die angegebenen Konstruktionen gelten für das Endliche und ergeben nur 
endliche Punkte. Die dabei vorkommenden Parallelen sind endliche Parallelen, 
d. h. schneiden im Unendlichen irgend welcher Ordnung oder auch sind Bogen