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der Brennpunkte für die Hyperbel auf folgendem Wege zu er 
klären, zugleich auch die drei verschiedenen Formen der Kegel 
schnitte auf eine einzige zurückzuführen, bestehend aus zwei 
Ellipsen auf einer Kugeloberiläche mit dem Radius oo 2 . 
Wir zeigten früher, daß ein endlicher Flächenteil einer unendlichen Kugel- 
fiäche für endliche Behaftungen als eine Ebene definiert wird; eine Ebene 
schlechthin ohne nähere Festsetzung der Behaftungen erkannten wir nicht an. 
Danach kann man sich jede endliche Ebene erweitert denken, z. B. zu einer 
unendlichen Kugelfläche hei einem unendlichen Radius irgend welcher über- 
sinulichyorstellbarer Ordnungen. Wir wollen der Anschaulichkeit halber die 
Kreise und Kegelschnitte in unnatürlichem Verhältnisse zur Kugel zeichnen 
und nachher die richtige Vorstellung hersteilen. 
Es sei auf einer Kugelfläche in Fig. 25 ein Kreis derart hergestellt, daß 
sämtliche Punkte seines Umfanges von einem Punkte M der Kugeloberfläche 
denselben Eadienahstand haben; dieser Radius werde gerechnet als Kreisbogen 
(in der sphärischen Trigonometrie würde er in Graden ausgedrückt sein, für 
einen Kreis von niedrigerer Weitenbehaftung als der Kugelradius würde er 
eine gerade Strecke sein). Ich kann daun den Kreis noch auf eine zweite Art 
definieren und zwar mittels des Punktes M‘, der am entgegengesetzten Ende 
des von M ausgehenden Kugeldurchmessers liegt. Wandert man auf der Kugel 
herum und zwar von M‘ aus nach dem Kreise AA 1 PP l zu, so nähert man sich 
der konvexen Seite der Krümmung, vom Mittelpunkte M aus aber der kon 
kaven. Alle Punkte des Kreises haben auch von M‘ aus dieselbe Entfernung 
(in Kreisbogen gemessen), alle Durchmesser des Kreises gehen durch beide 
Mittelpunkte M und M‘ und sind geodätische Linien oder größte Kreise der 
unendlichen Kugel. Man kann danach den Durchmesser eines Kreises 
geradezu definieren als eine kürzeste Linie auf der unendlichen Kugel, 
zu der man die Ebene des Kreises erweitert hat, und zwar als solche, welche 
durch beide Mittelpunkte des Kreises geht, welche Konkavmittelpunkt M 
und Gegenmittelpunkt M‘ heißen mögen. Wir können nun entsprechend 
wie bei der Ellipse die Punkte des Kreises auch so definieren, daß die Ent 
fernungen (auf der Kugel gerechnet) eines Kreispuuktes P von dem in zwei 
unendlichnahe Brennpunkte zerlegten Mittelpunkte des Kreises M aus eine 
konstante Entfernung 2a haben; dann ist a der Radius des endlichen Kreises. 
Aber wir können ebensowohl für den Punkt P richtig festsetzeu, daß seine 
eine, nach innen, nach dem Konkaven gerichtete Entfernung PM, abgezogen 
von der anderen über M‘ und P‘ gelegten PM‘P y M gleich PM‘P X ist. Ebenso