110 
ebensoweit von F x liegen, wie unten vorn P 2 und F\. Kurz es wäre wirklich 
P 2 ein dem Ellipsengesetze gehorchender Punkt, wenn wir ihn in derartiger 
Nähe von F\ unten vorn zeichnen. Ich schloß zuerst (vermutungsweise), daß 
sich also wirklich eine einzige, unendliche Ellipse, so wie in Fig. 28 gezeichnet, 
von F 2 links herum his nach A x erstrecken müßte. Freilich gab die Kongruenz 
der Lagen von P 2 , F‘ und F\ mit der Lage von PF und F x gleich die Ver 
mutung an die Hand, daß überhaupt alle Punkte der Hyperbel in der Gegend 
AA X Gegenpunkte in der Gegend von FMF 1 haben würden, d. h. daß daselbst 
eine der ersten kongruente Hyperbel liegen müsse. Dann wäre Zeichnung 28 
insofern falsch: es müßten sich nicht die beiden Hyperbelzweige im Unendlichen 
zu einer Ellipse vereinigen, sondern sie müßten in zwei Gegenscheiteln enden 
und auch M würde ein Konvexmittelpunkt sein. Wirklich wird diese Ver 
mutung mathematisch streng durch die obige Ableitung für P 2 bestätigt. Denn 
nur für solche Kongruenz ergibt sich die Summe der Vektoren als 360 — AM‘A X . 
Betrachtungen über die Asymptoten des unendlichen Kegelschnittes (die ich 
zugleich anstellte) und über die unendlichen Kegel, deren Schnitte die unend 
lichen Kurven auf der Kugel sein sollen (die ich noch vorher anstellte: siehe 
später) brachten mich zuerst auf die Annahme der Zerlegung des unendlichen 
kugeligen Kegelschnittes in zwei unendliche Ellipsen. 
Es zeigt sich nunmehr, daß die Vermutung, der zweite 
Scheitel der Ellipse kehre als Hyperhelscheitel aus dem Un 
endlichen von der anderen Seite her zurück, falsch ist, die 
Sacheviel mehretwasverwickelter, nämlich folgendermaßen ist. 
Nimmt man auf einer Kugel (Fig. 29) zwei Punkte F x und jP 2 
an, welche Brennpunkte heißen mögen, und sucht vermittels 
der Kugeldurchmesser die entgegengesetzten Punkte der Kugel 
F x und jP 2 , welche Gegenhrennpunkte heißen mögen, und 
beschreibt man um diese vier Punkte auf der Kugeloberfläche 
(wie auf der Ebene, nur mit Radien, die kürzeste Linien oder 
Teile von größten Kugelkreisen sind) vier kongruente Leit- 
kreise, deren jeder also einen Gegenleitkreis besitzt, so 
kann man entsprechend den Kegelschnitten in der Ebene kuge 
lige Kegelschnitte suchen, so daß die Differenz der von 
solchem Kurvenpunkte nach F x und F 2 gezogenen Vektoren 
(kürzeste oder geodätische Linien auf der Kugel) konstant gleich 
dem Radius 2 a des Leitkreises ist. Bei dieser Zusammenordnung