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Leitkreise 
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Hyperbeln, beziehlicb, wie sich bald ergibt, bei bestimmter Größenwahl der 
Leitkreise und Achsen, endliche ebene Parabeln oder Ellipsen. 
Führen wir den Nachweis an einer kugeligen Ellipse. Es 
sei (Fig. 29 a) mit dem Radius F 1 L = 2a um F 1 ein Kreis be 
schrieben. Man verbindet wie in der Ebene den beliebigen 
Punkt L dieses Leitkreises mit dem innerhalb liegenden 
testen Punkte F 2 , errichtet darauf das Mittellot, welches F X L 
in P, einem Punkte der Ellipse, schneidet. Entsprechend seien 
die anderen Punkte der für die Brennpunkte F x und jP 2 gezeich 
neten kugeligen Ellipse hergestellt. Jetzt ist F X P -f- PF 2 = F X L 
= 2 a, dem Konkavradius des Leitkreises. Ferner ist PLF‘F X 
— PL = PLF‘F X — PF 2 = 360 — 2 a d, h. gleich der ergänzenden 
Konvexachse der Ellipse. Wir haben demnach die Definition der 
Ellipse sowohl durch die Summe der (direkten) Vektoren, wie 
durch die Differenz eines um die Kugel herumgehenden und eines 
direkten (kürzesten) Radiusvektor ausgedrückt. Ordnen wir nicht 
wie bisher F x und F\ zusammen, sondern ersetzen F x durch 
seinen Gegenbrennpunkt F\, ordnen also F 2 und F‘ x zusammen, 
so ergibt sich für dieselbe Ellipse ein Gesetz der Differenz von 
kürzesten Vektoren, wie für die ebene Hyperbel. Der durch L 
gelegte Leitkreis habe nun den Mittelpunkt F\, also den Konvex 
radius LF X , der sich mit dem Konkavradius 2 a zu 180° ergänzt. 
Es ist nach Obigem F X P -f- F 2 P — 2 a; statt F X P setzen wir 
180 — PLF\, erhalten also 180 —PLF X -f- F 2 P — 2a oder PLF‘ X 
—F 2 P = 180 — 2 a. Dies ist das Hyperbelgesetz für eine Kon 
vexachse 180 — 2 a, die leicht in der Figur als A. 2 Ä‘ X zu finden 
ist und V oder andererseits F zum (Konvex-)Mittelpunkt hat. 
Man kann aber auch hier den einen Radiusvektor, anstatt auf 
kürzestem Wege von P bis F‘ x auf dem größeren geodätischen 
Wege PF X F\ führen. Dann ist PF X F\ + PF 2 — PF X F‘ X + PL 
= F X F X -f- F X L — 180 -f- 2 a; dies ist das Hyperbelgesetz aus 
gedrückt durch die Summe von Vektoren. 
Man fragt unwillkürlich nach den Asymptoten eines kugeligen 
Geißler, Kegelschnitte. 8