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Für die Parabel aber hat man irgend einen Punkt des geometrischen 
Ortes, der ja ebenfalls Parabel ist, z. B. O x mit dem Scheitel A zu verbinden 
und durch Oi zur Achse AF X eine euklidische Parallele zu legen. Diese ist für 
die endliche Gegend eine nichtschneidende Gerade, kann aber darum doch im 
Unendlichen krumm werden, ebenso wie die Seitenlinien der übrigen Kegel, 
auch im Unendlichen, also auf der Kegelschnittkugel oo 2 die große Achse (einen 
unendlichen Kreis) schneiden. Wir werden dies nach der dritten Be 
dingung verlangen, und zwar wird der Schnitt auf der einen Seite gerade 
da angenommen werden, wo die unendliche Parabel (in Fig. 7 b senkrecht zur 
Papierebene), welche auf der Kugeloberfläche eine Ellipse ist, ihren zweiten 
elliptischen Scheitel hat; ebenso wird die durch 0 L gelegte euklidische Parallele 
auf der anderen Seite (nach rechts hin) in einem Scheitel der anderen kugeligen 
Ellipse schneiden, während die Seitenlinie O x A in ihrer sonst noch näher zu 
bestimmenden Verlängerung den Gegenscheitel von A treffen muß. Kurz jede 
durch einen Scheitel gehende Seitenlinie muß auch durch den Gegenscheitel auf 
der Kegelschnittkugel gehen. Die sämtlichen übrigen Seitenlinien des Kegels 
(entsprechend für das Unendliche zu krümmen) müssen durch einander gegen 
überliegenden Punkte der allgemeinen kugligen Kegelschnittkurve gehen. 
Damit wäre die dritte Bedingung erfüllt und wir könnten uns z. B. einen 
Kegel gemischter Weitenbehaftung vorstellen wie in Fig. 32 e. Sind V und V 
die Konvexmittelpunkte, A und A\ die Scheitel der links liegenden Teilellipse, 
Ao und A‘ die der rechts liegenden, so sei die durch FSF 2 gehende Ellipse 
der geometrische Ort für die Kegelspitze, ebenso unten die Kurve F\S‘F\ (die 
Gestalt der Ellipsen ist deshalb nicht richtig, weil der Sichtbarkeit halber der 
Abstand AA 2 zu groß gewählt wurde; ist er endlich, während die Kugel den 
Radius oo 2 hat, so ist die ebene, in der Papierebene liegende endliche 
Ellipse der richtige geometrische Ort). Wir wählen der Symmetrie halber als 
Spitze des unendlichen Kegels die Scheitel S und S‘ der kleinen Achse beider 
Ellipsen, dann ergeben sich die in der Papierebene liegenden Seitenlinien des 
Kegels durch Verbindung von S mit. A und A 2 , von S‘ mit At 2 und A‘\ diese 
Linien, für das Endliche gerade, müssen von A nach A‘ und von A 2 nach A' 2 
weiter laufen, also sich krümmen, da sie bei A und A 2 von außen nach 
innen in die Kugel hineingehen müssen. In der Figur sind sie als 
Kreise gezeichnet (ohne daß damit behauptet sein soll, es wären genaue Kreise). 
Soll in der Gegend von A und F sowie von A 2 und F 2 usw. eine Parabel 
liegen, also die hyperbolische Konvexachse AA 2 unendlich sein, so liegt S so 
nahe an V, daß für diesen Abstand (der unendlich, aber nicht von zweiter 
Ordnung wäre) die Seitenlinie der Kegel für diese Behaftung parallel zur Achse 
in A und A 2 läge, aber für oo 2 sich doch zum unendlichen Kegel krümmte.