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XYII. Der Pythagoreische Lehrsatz hei gemischter 
W eitenhehaftung. 
Da der Pythagoreische Lehrsatz oder die Proportion, durch die er ersetzt 
werden kann, oder auch die goniometrische Funktion für die analytische Geo 
metrie das wichtigste Mittel ist und wir die analytische Geometrie der Kegel 
schnitte auch für gemischte Weiten!ehaftung andeuten müssen, so werden wir 
vor allem Klarheit darüber suchen, oh das Quadrat und die zweite Potenz einer 
unendlichkleinen Größe dasselbe sind. Es galt ja der Grundsatz, daß eine 
¿-Größe, mit sich selbst multipliziert, ein Eesultat ergibt, welches dem Un 
endlichkleinen zweiter Ordnung angehört. Man sollte aber vermuten, daß ein 
Quadrat mit der Seite 8 in die Flächenvorstellung des Unendlichkleinen erster 
Ordnung gehöre. Auch ist nicht sofort klar, was der Pythagoreische Lehrsatz 
bedeutet, wenn z. B. eine Kathete endlich, die andere unendlichkleiu sein soll. 
Dazu sind folgende Betrachtungen nötig. 
Eine einzelne Strecke hat keine bestimmte Größe. Die Einheit logisch und 
die arithmetische Einheit besitzt eine gewisse Selbständigkeit, eine einheitliche 
Strecke aber hat als Einheitsgröße nur einen Sinn, wenn sie mit anderen ver 
glichen wird. Ein einzelnes Quadrat hat keine bestimmte Quadratflächengröße, 
sondern besitzt eine flächenhafte Bestimmtheit in seiner Größe nur im Vergleich 
mit anderen z. B. dadurch, daß man sich zwei Quadrate mit gleicher Seite 
neheneinandergelegt vorstellt. Heißt die eine größere Seite des entstehenden 
Rechteckes 1+1, während die senkrecht dazustehende Quadratseite 1' heißen 
möge, so findet die Verhältnisheziehung von 1 und 1 + 1 in der einen Dimension 
der längeren Rechteckseite statt. Legt man vier Quadrate zu einem einzigen mit 
doppelter Seite zusammen, so sind beide Dimensionen mit dem Verhältnisse 
vorgestellt und zwar beide mittels derselben Behaftung, denn die Zahl 2 gehört 
der endlichen Behaftung an, das quadratische Verhältnis von einem Quadrate 
zu den vier Quadraten des zusammengesetzten Quadrates mit der Seite 2 gehört 
als Zahl 4 ebenfalls der endlichen Behaftung an. 
Stellt man sich ein unendlichkleines Quadrat vor mit der Seite 8 X und 
ein solches mit der Seite 2 • ¿j, so stehen ihre Flächen im Verhältnisse ¿ D : 4 
<5° = 1; 4. Das Verhältnis ist also ebenso wie hei der endlichen Eiuheitsseite. 
Es liegt hier nur dadurch ein Unterschied vor, daß man sich die Einheitsseite 
das eine Mal als unendlichklein, das andere Mal als endlich vorstellen will; die 
Benennung Deltaquadrat, hier absichtlich nicht geschrieben delta hoch zwei, 
sondern S 3 , ist eine andere als heim Endlichen.