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und ersetze im einen Faktor jedes Produktes die Koordinate 
des laufenden Punktes durch die des Berührungspunktes. [Bei 
der Gleichung der Parabel (y — h) 2 = 2 p {x — o), also wenn ein 
Glied mit einer laufenden Koordinate nicht quadratisch ist, zer 
lege man diese erste Potenz in zwei Summanden, also 2p ix—a) 
in p(x — a -f- x — a) und ersetze die eine erste Potenz der 
Koordinate durch die des festen Punktes, also 
{y — V) ilh-h)=p{x-\-x 1 — 2a)]. 
Da das Senkrechtstehen der Tangente nur in seltenen 
Fällen vorhanden ist, bei den übrigen Kegelschnitten in den 
meisten Punkten nicht, auch nicht bei anderen höheren Kurven, 
so müssen wir eine allgemeinere Ableitung mittels der Sekante 
suchen oder vielmehr mittels des Unendlichkleinen, indem wir 
benutzen, daß der unendlichkleine Bogen der Kurve gerade ist 
und zugleich der Tangente angehört. 
Sind x x ; y 1 und x 2 ; y 2 zwei Punkte des Kreisumfanges eines 
Kreises x 2 + y* = r 2 , so gilt dafür (1) x x 2 -(- y 2 = r 2 und 
(2) x 2 2 -j- y 2 2 = r 2 . Wollen wir die Gleichung der Sekante bilden 
als einer durch die beiden Punkte gehenden Geraden, so kommt 
es hierfür auf r nicht mehr an, wir können also (1) und (2) von 
einander abziehen und erhalten (aq 2 — x 2 2 ) -f- (tq 2 — y 2 2 ) = 0 oder 
x i + x 2 i -A = o (1,2), dazu als allgemeine Punktegleichung 
Vi + Vi — x i 
mit dem laufenden Punkte x; y die Gerade -—— = — — (3) 
also aus allen drei Gleichungen fl, 2,3) -—-- =— 
x — x x 2/i +2/2 
Dies ist die Gleichung der Sekante. Es läge nun nahe zur 
Tangente zu kommen, indem man die Punkte ineinander fallen 
läßt, also für x 2 und y 2 setzt x x ; y x und dies den Berührungs 
punkt nennt. Aber es zeigt sich eine bedeutende Schwierigkeit. 
Man hat nämlich bei der Umformung der Gleichung (1, 2) eine 
Division der Gleichung vorgenommen durch (aq — x x ) (y 2 y ± ),