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Entsprechendes läßt sich für Kurven einer für das Unendliche vorhandenen 
Krümmung sagen; z. B. ist das endliche Stück eines Kreises mit dem Radius oo 
eine Gerade (für das Endliche, nicht aber für die seitliche Behaftung mit S). 
Es habe ein Punkt P endliche Entfernung von einer Geraden G. Man 
kann dann in der Zeichnung ziemlich genau eine Gerade durch P hersteilen, 
welche G überhaupt nicht schneidet; aber es hat dies „überhaupt“ nur Wert 
für die Zeichnung oder eine irgendwie im Sinnlichvorstellharen verlängerte 
Zeichnung. Stellt man sich durch P eine unendliche Gerade vor, die G im 
Unendlichen in irgend einem unendlichentfernten Punkte schneiden soll, so hat 
eine solche Gerade zu G für das Endliche genau dieselbe Lage wie irgend 
eine andere durch P gelegte und erst im Unendlichen Schneidende. Alle diese 
bilden untereinander in P nur unendlichkleine Winkel, die man sinnlich nicht 
zeichnen kann, höchstens durch eine etwas falsche Zeichnung andeuten. Sie 
fallen für endliche Winkelunterschiede alle zu einer, der einzigen eukli 
dischen Parallelen zusammen und es gilt das Axiom der einzigen 
Parallelen für das Sinnlichvorstellbare. Für Hinzuziehung unendlicher 
Weiteubehaftungen aber erweitert sich die Geometrie dahin, daß es eine Schar 
von über euklidischen Parallelen gibt, und diese Erweiterung wider 
spricht der endlichen Geometrie durchaus nicht. 1 ) 
Hat ein Punkt P endlichen Abstand von einer Geraden, die sich bis in 
das Unendliche als Gerade erstreckt d. h. auf welche auch die Weitenbehaftung 
des Unendlichen Anwendung haben soll, und stellt man sich durch P eine end 
liche Gerade, welche jene andere im Endlichen nicht schneiden soll, vor, so ist es 
auch möglich, sich diese endliche Parallele zu einem Kreise mit unendlichem 
Radius erweitert vorzustellen. Denn es soll ja der unendlichste Teil eines 
unendlichen Kreises gerade sein. Es würde dann jene endliche Parallele für 
das Unendliche die andere Gerade in zwei Punkten, auf beiden Seiten schneiden. 
Oder es würde für den unendlichen Kreis, auf dem P liegt, die andere unend 
liche Gerade eine unendliche Sehne sein, die von dem Punkte P des Umfanges 
endlichen Abstand hätte. Verbindet man P durch Gerade mit den beiden 
Schnittpunkten oder Enden der Sehne, so hat man ein Dreieck mit endlicher 
Höhe und zwei ihr gegenüberliegenden unendlichkieinen Winkeln, ein weseus- 
wichtiges Dreieck. Da das wesenswichtige Dreieck eines endlichen Kreises 
Seiten von der Ordnung S und eine Höhe von der Ordnung S 2 hat, während 
der Radius endlich, also um zwei Weitenbehaftungen höher als die Höhe ist, 
J ) Näheres darüber in meinem Buche: Die Grundlagen der übereuklidischen 
Geometrie.