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Punkten von der einen und der anderen Seite, also in den Brenn 
punkten der Ellipse berühren. Verbindet man nun irgend einen 
Punkt P der Ellipse (entsprechend der Fig. 4 vorzustellen, aber 
natürlich für eine Ellipse) mit den beiden Brennpunkten, so wäre 
nachzuweisen, daß die Summe dieser Strahlen PF t und PP 2 für 
alle Ellipsenpunkte P dieselbe wäre. Zieht man aber durch die 
Spitze 0 des Kegels, wie in Fig. 4, eine Seitenlinie des Kegels 
nach P, so berührt diese die beiden Kugeln in je einem Punkte. 
Die Strecken von P bis zu diesen Berührungspunkten sind als 
Kugeltangenten ebenso groß wie die Strecken PF X und PP 2 , 
welche ja auch Tangenten vom selben Punkte an dieselbe Kugel 
sind. Und die Summe der in der Seitenlinie liegenden beiden 
Kugeltangenten ist stets dieselbe Gerade, nämlich ein Stück irgend 
einer Seitenlinie des Kegels zwischen dem Berührungspunkte mit 
der einen und dem Berührungspunkte mit der anderen Kugel. 
Sie ist also konstant, folglich ist auch für jeden Ellipsenpunkt P 
die Summe der nach F 1 und P 2 gehenden Strahlen konstant wie 
bei der Leitkreisellipse. 
Man zeichne nun einen Doppelkegel und einen Schnitt, der 
beide Hälften trifft, mithin eine Hyperbel ergibt. Auch dann er 
gibt sich die Strecke zwischen dem Berührungspunkte einer Kugel 
in der einen Kegelhälfte bis zur Berührung der anderen Kugel 
mit der anderen Kegelfläche als konstantes Stück einer durch 0 
gehenden Seitenlinie. Hierbei aber zeigt sich gleich, daß diese 
Strecke die Differenz der Tangenten ist, welche man von irgend 
einem, auf dem einen Zweige liegenden Hyperbelpunkte an beide 
Kugeln legt. Je eine solche Tangente kann zugleich einer durch 
P gelegten Seitenlinie des Kegels angehören; als zweite von P 
aus an die Kugel legbare Tangente aber kann der nach F x bzw. 
P 2 gehende Strahl gewählt werden, da ja auch F x und P 2 Be 
rührungspunkte der Kugeln (mit der schneidenden Ebene) sind. 
Der Nachweis für die Parabel ergab sich schon in Abschnitt 
II nach Fig. 4.