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Satz. Für je vier auf einer Geraden liegende Punkte ist das 
Doppelverhältnis der Strecken zwischen ihnen (kurz: der vier 
Punkte) stets gleich dem Doppelverhältnisse der Sinus von den durch 
entsprechende Strahlen gebildeten Winkeln (kurz: den vier Strahlen). 
Folgerung. Das Doppelverhältnis der Strecken ist das 
selbe für das Büschel 0. 2 oder O s , und das ihm gleiche Doppel 
verhältnis der Strahlen ist dasselbe für 0 17 0 2 , 0 3 , gleich dem 
Doppelverhältnis der entsprechenden Punkte auf B‘G‘D‘, also gleich 
dem Doppelverhältnis der Strahlen für 0; kurz: projektivische 
Strahlenbüschel haben stets gleichwertiges Doppelverhältuis für 
vier entsprechende Strahlen (und umgekehrt). 
Es ist selbstverständlich, daß das Strahlenverhältnis dasselbe 
ist, wenn alle entsprechenden Winkel gleich sind. Einen be 
sonders einfachen Fall projektivischer Strahlenbüschel kann man 
demnach durch Herstellung entsprechend gleicher Winkel kon 
struieren. Das gelingt leicht, wenn man den ersten Winkel des 
einen Büschels als Sehneutangentenwinkel, den entsprechenden des 
zweiten Büschels als zugehörigen Umfangswinkel eines Kreises 
und ebenso die übrigen Strahlen zeichnet. 
Ist 0 (Fig. 13) ein Berührungspunkt, OB., oder 1 eine Sehne, 
OA oder 2 die Tangente, 0 2 irgend ein zweiter auf dem ab 
gewandten Kreisabschnitte angenommener Büschelausgangspunkt 
mit den entsprechenden Strahlen OB., und 0 2 0 oder 1 2 und 2 2 , so 
ist Winkel (1 2 , 2. 2 ) = (1, 2); ebenso Ai (2,, 3 2 ) = A‘OC 2 = (2, 3), 
As. (3. 2 , 4. 2 ) — (3, 4). Beide Büschel haben denselben Drehungs 
sinn (von 1 beziehlich 1 2 nach rechtsherum zu 2 bez. 2 a ); sie 
sind nach obigem Satze projektivisch und die Schnitte ent 
sprechender Strahlen liegen in diesem besonderen Falle auf einem 
Kreise, also einer bestimmten Kegelschnittart. Dem Yerbiudungs- 
strahle 0 2 0 als Strahl des Büschels 0 2 entspricht die in 0 ge 
legte Kreistangente OA als Strahl des anderen Büschels 0; oder: 
wenn man den Punkt B 2 immer näher auf dem Kreise nach 0 
rücken läßt, so wird die Sehne 1 immer kürzer. 
Geißler, Kegelsciuiitte. 
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