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so ergeben sich als entsprechende Schnitte nur Punkte dieser 
Geraden, und es ist die Hyperbel in diesem Falle eine einzige 
Gerade. 
Nach der Lehre von den Weitenbehaftungen ist auch diese nur nach Sc 
haltungen zu definieren und wir müssen uns verstellen, daß 0 3 unendlichuahe 
an M x heraurücke. Die Ausführung ist nicht sehr schwierig und bestätigt be 
reits früher gefundene Resultate auch für die projektivische Kurve, nämlich 
den Übergang der Hyperbel in die Gerade. Wie aber steht es, wenn Punkt 0 3 
nach rechts in das Unendliche fällt? 0 2 X des Büschels 0 2 ergibt, wie wir sahen, 
falls X0 2 — S, den Punkt G r , so daß M l G i = oc 1 . Legt man nun durch G v 
eine Parallele zu XO, so ergibt dies ein Dreieck OG x Ü 3 , in dem Winkel O s 
von der Ordnung «5 1 ist, die gegenüberliegende Seite von der Ordnung oo 1 , also 
die Entfernung M t O s von der Ordnung oc 2 . Die Verbindungen von 0 3 mit den 
im Endlichen liegenden perspektivischen Punkten sind endliche Parallele zur 
Achse, geben also mit den entsprechenden Strahlen des Büschels 0 für das 
Endliche dieselben Schnitte, wie ein in der Entfernung oo 2 nach links liegender 
Punkt 0 2 , für das Endliche eine Parabel. Wir finden hierdurch wieder, 
wie schon früher bei anderer Entstehung des Kegelschnittes, 
daß eine endliche Parabel für höhere Schaffungen ebensowohl 
eine Ellipse wie eine Hyperbel sein kann. Die Asymptoten dieser 
4 Hyperbel sind in ihrer Richtung bestimmt, der Mittelpunkt der großen Achse 
00 ;i ist ebenfalls von 0 um die Länge oo 2 entfernt. 
Schließlich können wir, wie früher, die endlichen Parallelen als krumme 
Linien für das Unendliche betrachten, so daß z. B. ein von 0 2 aus dem Unend 
lichen kommender Strahl Ooi\ nach 0 3 rechts in das Unendliche gehen kann. 
Auch eine Krümmung der Achse und der entsprechenden Strahlen zwischen den 
unendlich entfernten Punkten 0 2 und 0 3 auf einer Kugel, deren Mittelpunkt 
unendlichweit hinter der Papierebene liegt, ist vorstellbar und ergibt Übergänge 
zwischen den Kegelschnitten und schließlich, wie wir sehen werden, die Ver 
einigung aller unendlichen Kegelschnitte zu einer einzigen Form auf einer un 
endlichen Kegelschnittkugel. 
Übungen IX. 
1. Man stelle mit Hilfe eines Kreises und einer Punktreihe 
auf einer Geraden (nach Fig. 16) eine große Anzahl von Strahlen 
zweier Büschel 0 und 0. 2 her, die sich auf dem Kreise schneiden,