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können zwischen mechanischen und optischen Eigenschaften des 
Raumes unterscheiden. Brstere finden in der freien Beweglichkeit 
starrer Körper ihren mathematischen Ausdruck, letztere in der 
Gruppierung der den Raum durchziehenden geraden Linien (der 
Lichtstrahlen oder der vom Auge ausgehenden Yisierlinien)“. In 
Übereinstimmung mit Pasch (Vorlesungen über neuere Geometrie, 
Leipzig 82) sieht er „die räumliche Anschauung als etwas wesent 
lich Ungenaues an — mag nun von der abstrakten Anschauung 
die Rede sein, wie sie uns durch Gewöhnung (!) geläufig geworden 
ist, oder von der konkreten Anschauung, die bei empirischen Be 
obachtungen zur Geltung kommt. (Darin stimme er gut mit Pasch 
überein, nicht in bezug auf die Bedeutung der Axiome.) Das 
Axiom ist mir nun die Forderung, vermöge deren ich in die un 
genaue Anschauung genaue Aussagen hineinlege“. Die zu den 
Axiomen führende Abstraktion sollen wir „unwillkürlich vollzie 
hen. Das, M as in der Anschauung oder im Experimente nur ap 
proximativ gegeben ist, das formulieren wir in exakter Weise, 
weil wir andernfalls damit nichts anzufangen wissen (S. 572)“. 
Leider wird auch neuerdings versucht, diesen Unterschied von 
approximativer Mathematik und von exakter oder präziser in den 
Unterricht der höheren Schulen hineinzubringen, wofür besonders 
Klein selbst tätig ist (Kommission der Naturforscher- und Ärzte 
versammlung). Dass man — sogar schon ein kleines Kind — 
ausser und nach Anregung durch die Wahrnehmung abstrahieren 
kann, dass sogar jedes Kind dieses fortwährend versucht, das 
wird ganz übersehen. Eine Raumvorstellung in genauer und exak 
ter Weise gibt es gar nicht!? Wenigstens weicht Klein in jenem 
Aufsatze von einer Ansicht ab, die ihm „in der mathematischen 
Literatur fast allgemein verbreitet zu sein scheint (S. 571), näm 
lich, dass die Axiome die Tatsachen der räumlichen Anschauung 
„so vollständig formulieren, dass es bei geometrischen Betrach 
tungen unnötig sein soll, auf die Anschauung als solche zu 
rekurrieren, es vielmehr genügt, sich auf die Axiome zu berufen“. 
„Eine geometrische Betrachtung rein logisch zu führen, ohne 
mir die Figur, auf welche dieselbe Bezug nimmt, fortgesetzt 
vor Augen zu halten, ist jedenfalls mir unmöglich.“ Eine 
bloss rechnende analytische Geometrie, welche von den Figuren 
abstrahiert, könne er nicht als „eigentliche“ Geometrie gelten 
lassen. Die „Berechtigung der nichteuklidischen Geometrie (unter 
nichteuklidischer Geometrie die reale Disziplin und nicht bloss