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e siccome 
che f{x) 
e si som- 
cere di n 
F (a -f- n) 
indefinitamente. Se a > 0 si possono assumere per funzioni aventi por derivate 
le precedenti! 
11 1 
F(x) , — , — — V 
a x a a (log x) a a (log log x) a 
le quali col crescere di x tendono a zero; quindi se a > 0, le serie proposte 
sono convergenti. 
Se a = 0, si può assumere 
F (x) = log x, log log x , log log log av 
ie quali col crescere di x crescono indefinitamente, quindi per a = 0 le serie 
proposte sono divergenti. Esse sono divergenti a maggior ragione se a < 0. 
Serie con termini di segno qualunque. 
65. Teorema. — Una serie a termini di segno qualunque è 
convergente se è convergente la serie formata coi valori assoluti 
dei termini. 
Sia s n la somma dei primi n termini della serie, s' n la somma 
dei termini positivi di s n , e — s" n la somma dei termini negativi. 
Sarà s n =s' n —s" n ; la serie formata coi valori assoluti dei termini 
abbia per somma 2; sarà 2 = lini (s r B -j-s' f n )> quindi s' n e s" n , ette 
crescono col crescere di n, mantenendosi però inferiori a 2 ten 
dono verso limiti; sia lim $'„= , e lims"„ = s"; allora anche 
s n tende verso un limite lim s n = s' — s", e la serie è convergente. 
La proposizione inversa non è vera. 
,... 66. Teorema. — Una serie a termini di segno alternato decre 
scenti continuamente ed indefinitamente è convergente. 
Sia 
o reali e 
¡crescenti > — U 3 , ....