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Si consideri la funzione 
Fico) = f{a) — f{x) — {a — x)f'{x)— — f (n ~ 1} 0»), 
la quale si ottiene da R leggendo x dovunque trovasi x Q . Sarà 
F{a) = 0, F{x iì ) = R, e derivando F (x) si ricava 
Ed ora basta ricorrere alle formule che legano i valori d’una fun 
zione con quelli della derivata per avere espressioni di R. 
Ricorrasi alla formula F{d) — F (x 0 ) = (a— x 0 ) F’{x^), ove x i 
è una quantità compresa fra x 0 ed a ; sostituendo, e cambiando 
segno : 
(a — x^) n — 1 
(« — !)! 
R = {a — x 0 ) 
e ponendo x 0 -\-li invece di a, e fatto Xi = x 0 -\-Qh, ove 6 risulta 
compresa fra 0 ed 1, si trova l’espressione 
la quale è dovuta a Cauchy. 
Ricorrendo invece alla formula: 
F(a)-F(x 0 ) = F'(x l ) 
qp(«) — <p(® 0 ) q>'(®i) 
dove 9 (a?) è una funzione arbitraria la cui derivata non si annulli 
nell’intervallo x 0 a, si ricava : 
__qp(a) —qpia-p) ( a _a? t )"-i 
<P'(»i) (n — i)\ 
e posto 
qp (x) = {a — x)p con P = i 
sarà 
<p (a) = 0, qp(-^o) = (a — cc 0 )p , 9' (x) = —p (t2 — xy- 1 ,