Si può subito affermare che la serie di Taylor è applicabile a 
tutte quelle funzioni per cui la derivata fi”) (x) è per tutti i valori 
di x compresi fra oc 0 ed a? 0 -|-h minore in valor assoluto d’una 
quantità A, qualunque sia l’ordine n. Infatti per queste funzioni è 
h n 
in valor assoluto R < —A, come si ricava dalla Torma del resto 
h n 
di Lagrange; e -j tende a zero, perchè la serie avente questa 
quantità per termine generale è convergente, quindi anche lim R=0. 
Quindi sono sviluppabili colla serie di Taylor le funzioni e x , sena?, 
cos x, le cui derivate successive non crescono indefinitamente. 
Si può pure applicare la serie di Taylor alle funzioni la cui de 
rivata n ma è della forma u n v, u e v essendo due funzioni di x e 
di n, che, per tutti i valori di oc compresi fra a? 0 ed x Q + h e per 
tutti i valori di n sono minori di due quantità fisse A e B, perchè, 
h n A n 
ricorrendo alla forma del resto data da Lagrange, si ha i?<—~r-B, 
la quale quantità ha ancora per limite zero. 
Serie di Maclaurin. 
fi 9. — Pongasi nella formula di Taylor x 0 = 0, h — x\ essa 
diventa 
rpl — I 
nx) = m + xf (0) + 0) 4- 4- iyr ^ (w - 1} (0) 4- R, 
ed R assume le forme 
R = ' - I—fi”) (Qx), ovvero R =—fi”) (qx) 
e le formule precedenti sussistono se f{x) ammette le derivate 
successive fino al\'n ma per tutti i valori della variabile compresi 
fra 0 ed x.