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72. — Servendoci di questa formula potremo dimostrare che il 
numero e è incommensurabile. Infatti, pongasi per assurdo che sia 
e = —, m ed n essendo due numeri interi ; sarà : 
n 
L 4_ I 1 I 6 
n ~ 1 1.2' ' ni ‘ ni n ’ 
si moltiplichi per ni, e si trasportino tutti i termini del membro 
di destra, eccetto l’ultimo, nel membro di sinistra ; si avrà a sinistra 
un numero intero, e a destra ^ la quale eguaglianza è assurda, 
perchè essendo 0 compreso fra 0 ed 1, anche sarà maggiore 
di zero e minore di uno; quindi non può essere eguale ad un nu 
mero intero. 
Pongasi, nello sviluppo in serie di e x , mioga invece di x; sic 
come e x Io s « = a x , si ottiene 
a x = 1 
x log a 
I 
x ì log 2 a , x 3 log 3 a , 
~T2 r 1.2.3 
Sviluppo in serie di sen x e cos x. 
73. — Pongasi f{x) = sen x\ le derivate successive sono 
cos x, — sen x, — cos x, sen x,... 
e si riproducono periodicamente, sicché: 
/■(■* »») (.2;) = S en x, f( 4n+1 ) (m) = cos x], 
f ( 4w + 2) (m) = — sen x, /'( 4 n + 3 > (m) — — cos m, 
che per x = 0 si riducono rispettivamente a : 
0, 1, 0, — 1.