Gonchiudendo si ha che, per tutti i valori di x minori di 1 in
valor assoluto, e per x = 1 sussiste la formula :
log(l + ®) = ®—fT+ ( 5 )
80. — In questa formula si scambi x in —x\ si ricava:
log(l-aO = -*—f-—f ( 6 )
e sottraendola dalla precedente, i termini con esponente pari si
distruggono, e quelli con esponenti impari si raddoppiano; onde:
log(l + a?) — log(l — tf) = log(^t|) = 2 + )( 7 )
la quale vale per œ' < 1. Pongasi
1 -f- x . h z-\-h
— 1 + T ~~1T~
si ricava; a?:
h
2z -f- h
tità positive. Sostituendo nella (7) si ha:
, e sarà certamente cc<ì se h e z sono quan-
lo gO-f/?) logz — 2 [ 2 z + h~^3(pz + h) a ^5(2* + A) 3 "^ )
e dando in essa ad h e z valori positivi convenienti, si possono de
terminare i logaritmi naturali di tutti i numeri.
Facciasi in essa z = i, h — 1 ; si ricava :
log 2 =2
serie rapidamente convergente; e calcolandone un numero suffi
ciente di termini, si ha
log 2 = 0,69314718,