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onde 
, Log e 
x' = oc 7-^- = x Log« e 
Lo ga 
x -, 
log« 
1 
ossia il logaritmo in base a d’un numero qualunque si ottiene mol 
tiplicando il logaritmo naturale dello stesso numero per un fattore 
costante, detto modulo del sistema di logaritmi in base a, il quale 
vale il logaritmo in base a del numero e, ovvero il reciproco del 
logaritmo naturale della base a. 
Quindi il modulo dei logaritmi decimali varrà Log 10 e ovvero 
1 
—— ; rappresentandolo con M si ha : 
Invece di calcolare prima i logaritmi naturali, per dedurne, mol 
tiplicandoli pel modulo, i logaritmi in una base qualunque, si pos 
sono ottenere direttamente delle serie che dànno i logaritmi, nella 
base voluta; invero moltiplicando p. e. la formula (8) per M, ed 
osservando che M log x — Log x, si ricava : 
hog{z-\-Jì)—Logz=2M 
\2z + h) ^ 5 \2z+h} ^ 
Sviluppo in serie di are tang x. 
82. — Pongasi f{x) ~ are tang x\ sarà 
e la legge di formazione delle successive derivate non è semplice 
(Y. N. 49, Es. 21).