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Si ha che 
onde 
1 l 
'n 1 _)_ na & 1 + (n + ì)x 2 ’ 
1 1 
Ul _ T+tf 1 + 2«» 
e sommando 
w- 
_ 1 
1 1 + (w — 1) a; 2 
1 
1 -f- n x 2 ’ 
S» = l 
1 
1 + n X 2 ' 
1 
Facciasi tendere n ad oo; se x % 0, lim 5 = 0, e lims M = l; 
1 + nx 1 " 
se x = 0, s n = 0, e lims„=0; dunque la serie precedente è con 
vergente qualunque sia x, e la sua somma è funzione di x che 
vale 1 se x % 0, e vale 0 se x — 0. 
Se x>0, = e se x = 0, r n =0. 
Fissato e piccolo ad arbitrio, e supporremo e < 1, affinchè r n < e, 
1 — 6 
deve essere n > se x % 0, non essendo n obbligato ad alcuna 
condizione se x = 0. Ora se si fa variare x in un intervallo in 
modo che i suoi valori non si approssimino indefinitamente a zero, 
1 — £ 1 ■ ■ £ 
ma esista una quantità a tale che x 2 > a 2 , sarà —=- < —¡¡-, e 
Car e a 2 
quindi se si suppone n > -—sarà anche n > -—^, e r„ < e ; 
ecr ex 2 
ossia la serie precedente è di convergenza equabile in ogni inter 
vallo non contenente il valore 0 all’interno od agli estremi. Se 
invece si dànno ad x valori che si possono approssimare quanto 
si vuole a zero, la serie non è di convergenza equabile, perchè 
1 — c 
— r col tendere di a? a zero tende verso l’oo, e perciò non esiste 
alcun numero n di cui esso sia sempre minore.