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95. Teorema. — Se i termini d’una serie sono funzioni di x, 
che col tendere di x ad x 0 (o ad oo) tendono verso limiti deter 
minati, e se la serie e di convergenza equabile relativamente ai 
valori che si attribuiscono ad x, il limite della somma della serie 
data è eguale alla somma della serie dei limiti dei termini. 
Sia 
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la serie proposta, s n la somma dei primi n termini, s la somma 
della serie, r n il resto della serie troncata a\\'n mo termine ; i ter 
mini della serie, s n , s, e r n sono funzioni di x. Siano 
i limiti dei termini della serie, col tendere di x ad x 0 (o ad oo), 
e o n la somma dei primi n termini. 
Dimostreremo dapprima che questa serie è convergente, ed in 
seguito che la sua somma è il limite della somma della serie data. 
Fissata ad arbitrio una quantità e, si può determinare un numero 
N tale che per n^N sia r n <e, a causa della convergenza equa 
bile della serie data; e se p>0, sarà anche r n + r <£, onde 
r n + P — r n <2e, ossia 
Un -(- Un 1 -j- —l - Un -f-p — 1 < C 2 £ , 
le diseguaglianze riferendosi sempre ai valori assoluti delle quantità. 
Facciasi tendere x verso x 0 (o verso oo); il membro di sinistra, 
che è sempre < 2 e, tende verso un limite 
an -f- an -+-1 -f* a n +p — i, 
il quale non potrà superare 2 e, onde 
Un ~(~ Un + 1 -f - -j - Cin +p — 1 —, 2 £ , 
ossia, fissata ad arbitrio una quantità 2e, si può determinare un