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f(n) e qp(ri) sono funzioni intere di n, che potremo supporre prime fra loro;, 
dovrà essere 
f[n + 1) f(n) _ 1 
cp(n-)-l) qfì(ri) n-\-1’ 
ossia 
(:n-\- i)f(n-\-i)y[rì)— (» + !)/■(«) qp(n-fl) = qp(ri)qp(n +.1). 
Il membro di sinistra è divisibile per n -f- 1, quindi dovrà pure essere tale il 
membro di destra, ossia dovrà o qp (ri) ovvero qi (n -f-1) essere divisibile per 
n-\-1. Se qp(n) è divisibile per n1, sarà qj (n + 1) divisibile per n + 2 ; e 
allora il 2° termine del 1° membro ed il 2° membro sono divisibili per n-j-2, 
quindi dovrà pure essere divisibile il primo termine del primo membro. Ma 
f(n-j-i) essendo primo con qp(«-(-l) non è divisibile per n 2, quindi dovrà 
qp (ri) essere divisibile per n + 2. Così continuando qp (ri), che è divisibile per 
n + 2 dovrà pure essere divisibile per n + 3, ecc., vale a dire qp (ri) dovrebbe 
essere divisibile per infinite funzioni distinte, il che è assurdo. 
Se cp(»+l) fosse divisibile per w + 1, si dimostrerebbe che qp(n) sarà divi 
sibile per n, n — 1, il che è parimenti assurdo. 
6° — Dimostrare che 
x (x +1) ~ (cc 1) (x -f- 2) (x + 2) (x + 8) 
1 
n (P + n ) 
1 
7° — La somma 
n ' n + 1 1 n + 2 
mn ’ 
ove m ed n sono numeri interi e positivi, col crescere indefinita 
mente di n ha per limite il logaritmo neperiano di m.