Genocchi, Calcolo differenziale.
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Si dimostra facilmente questa proposizione servendoci delle for
mule del N. 61.
n
8° — Il resto d’una serie in cui \/u n <h< 1, (N. 58) è mi-
9° — Il resto d’una serie in cui n i ' >ra u n <A, ove a>0(N.62)
e minore di .
a(n — l) a
10° — La serie
a.! cos x -j- a 2 cos 2 x -j- a 3 cos 3 x -j- ,
dove a ì a 2 sono quantità positive decrescenti continuamente ed
indefinitamente, è convergente per tutti i valori x eccettuati al
più i valori della forma 2feTt, fi essendo un numero intero, positivo
o nullo o negativo.
Invero, posto
= a, cos x -j- a 2 cos 2 x -j- a n cos n x,
si moltiplichino ambi i membri per 2 sen 5-. Ricordando che
_ 7 x 2 A -j- 1 2 k — 1
2 cos kx sen -Q- = sen —^— x — sen •—=— x,
x 3 , 5 , 2n-j-i
¿s n sen g- = a¡ sen^- x + a 2 sen oc + «»sen —~— x
1 3 2n— 1
— a x sen -g x — a 2 sen -g- x — — a n sen —^— x
oc 3 5
2 s„ sen ~2 = — «1 sen -g- x + («1 — «2) sen -g- x -)- (a 2 — a 3 ] sen x -(-
2n — 1
4- (o»_i — a„) sen —g— x -f a n
2 n+ 1
(*)
Ora la serie a termini positivi a¡ — a 2 , a 2 — a 3 , è convergente, perchè