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la somma dei primi n termini vale — a n +\ , e col tendere di n ad infinito 
lima n +\ =0 per ipotesi; quindi è anche convergente la serie 
(«i — a 2 ] sen -g x -f- («2 — a s) sen -g- x + 
inoltre lim a n sen—^—x = 0, onde facendo crescere indefinitamente n si ha 
x x 
dalla formula (*) che 2 s n sen -¡^ tende verso un limite, e se sen-^- non è 
nullo, ossia x non è della forma x = 2 k ir, anche s n tende verso un limite 
e la serie proposta è convergente. 
Se si fa x = 2 k ir, le serie diventa 
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la quale può essere [convergente o divergente. Se si fa a; = (2A + 1) ir, si 
ottiene il teorema del N. 66. 
11° — La serie 
a i sen x a 2 sen 2 x -|- a 3 sen 3 x -f- , 
dove a l a 2 a 3 sono quantità positive decrescenti continuamente 
ed indefinitamente, è convergente per ogni valore di x. 
12° — Se la serie u 0 , — u i , -f-u 2 , — è convergente, posto 
A u 0 =u l — u 0 , Au l = u 2 —u l , Au 2 —u 3 —u 2 , 
AX = Au l — Au 0 , AX = Au 2 — Au i , 
si ha 
U 0 U i -f- U 2 U 3 -1- = *2^0 gl A li 0 4“ gl AX — 
, f — l)n-l 
+ -^T-A"- 1 w 0 + J R n , 
ove 
K= *=£ [A” ^o—A" + ]. 
Invero, posto 
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