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143. — Si consideri p. e. la progressione geometrica 
si ha 
1 , X, X 2 , X 3 , 
s n — 1 -|- X + • • • -f-CC n ~ x 
i 
i — x 
x n 
1 —a?’ 
se il modulo di x è minore di 1, il modulo di x n col crescere inde 
finitamente di n ha per limite zero, onde la serie proposta è con 
vergente e si ha 
1 
1 xX 2 X 3 -\~ 
i—x 
Se si fa x — r (cos a-\-i sen a), si ha (r < 1) 
1 
(mod x]< 1). 
1 — r (eos a + i sen a) 
= 1 -f- r (cos a-\-i sen a) -f- r 5 (cos 2 a -\-i sen 2 a)+ 
-}- r 3 (cos 3 a -\-i sen 3 a)-f- 
Ma il membro di sinistra 
1 1 — rcosa -f-ir sena 
1 — r (cos a + i sen a) 1 — 2 r cos a + r 2 ’ 
quindi eguagliando le parti reali ed i coefficienti di ì si hanno le 
formule per tutti i valori positivi di r < 1, e per tutti i valori 
reali di a : 
1 -2 r cTI + r« ^= * 1 + r 005 a + ri cos 8 » + 
1 - ZrZl + = 0 + >• a + r’ sen 2 o. + 
144. Teorema. — Il termine generale d’una serie convergente 
ha per limite zero col crescere indefinitamente dell’indice.