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Invero, se u n =p n -\-iq n , e se è convergente la serie delle u n , 
sono pure convergenti le serie reali i cui termini sono p n e q n , 
onde (N. 55) lim_p n = lim q n = 0, e ilimw n = 0. 
Ammetteremo dimostrati i teoremi (N. 52 e 53) riferentesi alla 
moltiplicazione d’una serie per una costante, e alla somma di due 
serie. 
Teorema. — Una serie a termini complessi è convergente se 
è convergente la serie formata coi moduli dei termini. 
Siano 
u 0 , Uy , u 2 ,. • • 
i termini della serie data, 
V /va /v» /V» 
'05 ' 1 5 ' 2 5 * * * 
i loro moduli che supporremo formino una serie convergente; 
e siano 
Ì > ^2 » • • • 
gli argomenti dei termini. Si avrà che 
u n — r„ (cos a rt + i sen ct M ), 
quindi le serie formate colle parti reali e coi coefficienti di i dei 
termini sono 
r 0 cos a 0 , r l cos a 1 , r 2 cos a 2 ,... 
r 0 sen a 0 , r l sen a t , r 5 sen a 2 ,... 
i termini delle quali sono rispettivamente minori in valor assoluto 
dei termini della serie convergente 
r /y» /V» 
0 5 '15 ' 2 5 * * * 
onde esse sono pure convergenti, ed è convergente la serie delle u.