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so uno
che
bili,
onde
. d.
so
ove nel membro di destra la serie è convergente qualunque sia x,
e la sua somma per x reale è appunto e x .
Porremo in modo analogo, quando x è complesso, per definizione
x' a ,
sen x = x gT + -5T
x 2 - x 4
cos a? — 1 — -jr + -jr
le quali serie sono convergenti qualunque sia x, e se x è reale
rappresentano appunto sen x e cos x.
Se nella formula (1) invece di x si legge ix, si ha
e ix = 14-ix
& * ^1^1 &
1 Q1 1 A ! 1 * 5!
2! “ 3! 1 4!
ovvero, a causa delle formule (2) e (3):
(4) = cos x + i sen x,
e scambiando x in —x
(5) e~ ix — cos x — i sen x .
Da queste ultime due formule si ricava
gi® e -ix e ix — e~ xx
(6) cos x = —g—, sen x =—^— ’
e si hanno così le funzioni circolari espresse mediante esponenziali.
147. — La proprietà
(7) e x . e* = e x +y
sussiste anche se x ed y sono complessi. Invero si ha
e* = i +
e* = i + y + -fr +