e moltiplicando le due serie colla regola nota, il che si può fare, 
perchè sono convergenti le serie formate coi moduli dei termini, 
si ha 
e x . ey 
ed il termine generale è 
•v I **/ tf | | dj 
n!‘(n—1) ! t ' ‘ * 1 (n — r) ! ! 
1 
ni 
ossia 
e x . ey = 1 -J- {x -f- y) -f 
(x + yf 
[x + y) n 
2! 
n ! 
e siccome la serie di destra ha per somma e x+ y per definizione, 
si ricava la formula a dimostrarsi. 
In virtù di questo teorema si ha che 
(8) 
e x+iy —. e x e iy __ e x ( cos y _|_ ì sen y} • 
supposto x ed y reali, x-\-iy sarà una quantità complessa qua 
lunque, e e x+i v resta espressa sotto forma trigonometrica, ed ha 
per modulo e x e per argomento y. 
Reciprocamente una quantità complessa di modulo r e di argo 
mento a si può scrivere semplicemente re*«. 
Moltiplicando le formule (4) e (5) membro a membro, si ha 
(9) 1 = cos 2 x + sen 2 x, 
formula nota di trigonometria, che risulta cosi dimostrata qualunque 
siano i valori di x. 
Moltiplicando le formule 
e= cos x -f- i sen x 
e'y — cos y -{- i sen y