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149. — Si dice che y è il logaritmo naturale di x, e si scrive 
y — log a? 
se ey — x . 
Pongasi x — r (cos a -f- i sen a), ed y =p + iq ; si avrà 
ey = = ef (cos q -f- 2' sen q), 
ed affinchè questa quantità complessa possa essere eguale ad x, è 
necessario che i moduli siano eguali, e gli argomenti non differi 
scano che per un multiplo di 2tt ; onde l’equazione ey = x si riduce 
alle seguenti fra quantità reali 
e p — r 
q — a-\-2ìni (fe intero). 
La seconda determina q; dalla prima si ricava p in modo unico, 
perchè essendo r reale e positivo, esiste un sol valore reale di p 
tale che ep = r, ed è il logaritmo di r .stato definito a proposito 
delle funzioni di variabile reale; noi lo indicheremo scrivendo 
p = log' r. 
Così determinate p e q, risulta noto p + qi — y = log x, e si ha 
(13) log [r (cos a -f-i sen a) | = log' r -f- i (a + 2 h tt) , 
ossia il logaritmo d’una quantità complessa ha infiniti valori; la 
loro parte reale è comune, ed è il logaritmo (nel significato di va 
riabili reali) del modulo ; ed il coefficiente di i è l’argomento au 
mentato d’un multiplo arbitrario di 2rr. 
Se la quantità di cui si vuole il logaritmo [è reale e positiva, 
essa è eguale al suo modulo r, e per argomento si può assumere 
lo zero; onde la formula precedente dà 
log r — log' r -f- 2 h tt i ;