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Si divida la formula (4) per la (5); si avrà
cos x -f- i sen X i + i tang X ,
cos x — i sen x 1 — i tang x ’
prendendone i logaritmi
1 + itang x
° 1 — i tang x ’
e posto tang x = z, e x = are tang z, si ha
(17)
are tang z = log
i -i- ir i. i — ir.
Cosi restano definite le funzioni esponenziali e logaritmiche, e le
funzioni trigonometriche dirette ed inverse per valori complessi delle
variabili, e si vede che le funzioni trigonometriche dirette si pos
sono esprimere mediante esponenziali, e le inverse mediante loga
ritmi ; onde se dell’esponenziale e del logaritmo che ne è l’inverso
si fa una sola categoria di funzioni, si deduce che tutte le funzioni
trascendenti finora introdotte nel calcolo si possono ridurre alla
sola e x .
Funzioni di variabile complessa.
152. — Diremo che w è funzione della variabile complessa z,
e si scrive w — f{z), se ad ogni valore di £ corrisponde un va
lore di w.
Se si fa w — u-\-iv, z = x-\-iy, ove u, v, x, y sono variabili
reali, se w è funzione di z saranno u e v funzioni reali di x ed y.