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onde, derivando 
ti sena; 
dx 
e ix _J_ e -ix 
— = COS X , 
d cosa; ,e' x —e~ ix 
dx * 2 
sen x, 
precisamente come se le variabili fossero reali. 
Applicando la regola della derivazione di funzioni inverse, si tro 
vano le derivate di log x, are sen x, are cos x,... clie coincidono 
con quelle trovate per le variabili reali. 
Serie ordinate 
secondo le potenze d’una variabile. 
157. — Teorema. Se in uno. serie 
u 0 , u[x, u. 2 x 2 , u 3 x 3 , 
ove u 0 , u 4 ,... sono quantità indipendenti da x, per un certo va 
lore di x di modulo R il modulo del termine generale u n x n non 
assume valori comunque grandi, lo.\ serie proposta è convergente 
per ogni valore di x il cui modulo è minore di R. 
Infatti, suppongasi che il modulo del termine generale, pel valore 
di x il cui modulo è R, sia sempre minore d’una quantità finita 
A ; sarà 
mod u n . R n < A. 
Diasi ad x un valore il cui modulo sia r < R; il modulo del termine 
generale della serie sarà mod u n x n = mod u n . r n , che si può scri 
vere mod u n . R n . 
. In virtù dell’ipotesi precedente si ha che 
mod u n x n < A 
n 
. Ora la serie, il cui termine generale è